第六节 圆的内接四边形

典型例题

　　例1、圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．

　　解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x、2x、7x．

　　　∵ABCD是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，

　　　∴x=18°，

　　　∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，

　　　又∵∠B+∠D=180°，

　　　∴∠D=180°一36°＝144°．

　　说明：①巩固性质；②方程思想的应用．

　　例2、（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D．求证：DB=DC．

　　分析：要证DB=DC，只要证∠BCD=∠CBD，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．

　　证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD =∠DAC，

　　　∵∠EAD为圆内接四边形ABCD的外角，∴∠BCD=∠EAD，

　　　又∠CBD=∠DAC，

　　　∴∠BCD=∠CBD，∴DB=DC．

　　说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．

　　例3、如图，△ABC是等边三角形，D是 上任一点，求证：DB+DC=DA．

　　分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．

　　证明： 延长DB至点E，使BE=DC，连AE．

　　　在△AEB和△ADC中，BE=DC．

　　　△ABC是等边三角形．∴AB=AC．

　　　∵  四边形ABDC是⊙O的内接四边形，

　　　∴∠ABE=∠ACD．

　　　∴△AEB≌△ADC．

　　　∴∠AEB=∠ADC=∠ABC．

　　　∵∠ADE=∠ACB，

　　　又 ∵∠ABC=∠ACB＝60°，

　　　∴∠AEB=∠ADE=60°．

　　　∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．

　　　∵BE=DC，∴DB+DC=DA．

　　说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．

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