第九节 三角形的内切圆

典型例题

　　例1、如图，△ABC的内心为I，外心为O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数．

　　 解：∵I为△ABC的内心，

　　　∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB．

　　　∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．

　　　∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=50°．

　　　又O是△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A=100°

　　说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+ ∠A；∠BOC=4∠BIC-360°．

　　例2、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．

　　分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解．

　　解：由勾股定理得：

　　　连结OA、OB、OC，设⊙O的半径为r，则：

　　　 ，又 ．

　　　∴ ，

　　　∴ ．

　　答：直角三角形内切圆的半径为1．

　　说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．

　　例3、（陕西省，2001）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E．

　　  （1）求证：IE=BE；

　　  （2）若IE=4，AE=8，求DE的长．

　　证明：（1）连结BI，

　　　∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），

　　　∠IBE=∠IBC+∠EBC=∠ABC+∠EAC=（∠ABC+∠BAC），

　　　∴∠BIE=∠IBE

　　　∴IE=BE

　　解：（2）∵I是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，

　　　又∵∠DBE=∠CAE，

　　　∴∠BAE=∠DBE，又∵∠E为公共角，

　　　∴△ABE∽△BDE，∴ ，∴

　　　∴ ，∴ ．

　　说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为中档题．

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