第十一节 弦切角
典型例题
例1、如图,AD是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过C作AD的垂线,垂足为B,CB与⊙O相交于点E,AE平分∠CAB,且AE=2,求△ABC各边的长.
解:∵AD为⊙O的切线,∴∠BAE=∠C,
∵AE平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE,
又∵∠C+∠BAC=90°,∴∠BAE=∠C=30°.
则有BE=1,AB= ,BC=3,AC=2 .
说明:此题应用弦切角、解直角三角形的知识,为基础题型.
例2、(吉林省,2000)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AC、BD相交于点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长.
证明(1):∵XY是⊙O的切线,∴∠1=∠2
∵BD∥XY,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
∵∠3=∠4,∴∠2=∠4.
∵∠ABD=∠ACD,又∵AB=AC.∴△ABE≌△ACD.
解(2):∵∠3=∠2,∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB
∴ ,∴ ,即 .∵AB=AC=6,BC=4,∴ .∴ (cm)
说明:①此题利用平行线、弦切角、圆周角等角的转换;②建立方程求线段的长度.
例3、如图,P为⊙O的直径CB延长线上的一点,A为⊙O上一点,若 = ,AE交BC于D,且∠C= ∠PAD.
(1)求证:PA为⊙O的切线;
(2)若∠BEA=30°,BD=1,求AP及PB长。
证明(1):连结AO,∵ = ,BC为直径,
∴AE⊥BC,AD=DE, =
∵OA=OB,∴∠C=∠3,∴∠1=2∠C
又∵∠C= ∠PAD,∴∠1=∠2
∵∠1 +∠4=90°,∴∠2 +∠4=90°,∴PA⊥OA
∴PA为⊙O的切线.
解(2):在Rt△EBD中,∵∠BEA=30°,BD=1. ∴BE=2,DE=
在Rt△ODA和Rt△EBD中
∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E,∠ODA=∠BDE,AD=ED
∴Rt△ODA≌Rt△EBD,∴AD=DE= ,OD=BD=1,OA= BE=2.
在Rt△OAP中,∵AD⊥OP,∴AD2=OD·DP,即 =1·DP,∴DP=3,∴BP=2
在Rt△ADP中
根据勾股定理,得 AP= .
说明:此题为综合型题目.它主要应用弦切角、垂径定理、切线的判定、三角形全等和方程思想.