第十三节 圆和圆的位置关系

典型例题

　　例1、已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?

　　解：设大圆半径R=5x

　　∵两圆半径之比为5: 3，∴小圆半径r=3x，

　　∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，

　　∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，

　　当两圆圆心距d_l=24时，有d_l=R+r，∴此时两圆外切；

　　当两圆圆心距d₂=5时，有d₂<R-r, ∴此时两圆内含；

　　当两圆圆心距d₃=20时, 有R-r<d₃<R+r, ∴此时两圆相交；

　　当两圆圆心距d₄=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．

　　说明：此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力．考察数形结合能力．

　　例2、已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．

　　解：分两种情况：

　　 （1）如图1，设⊙O₁的半径为r₁=5cm，⊙O₂的半径为r₂=4cm．

　　圆心O_l，0₂在公共弦的异侧．

　　∵O₁ O₂垂直平分AB，∴AD= ．

　　连O₁A、O₂A，则．

　　 ．

　　 （cm）．

　　（2） 如图2，圆心O_l，0₂在公共弦AB的同侧，同理可求

　　0₁D=4cm，0₂D= （cm）． （cm）．

　　说明：①此题为基本题目；②此题未给出图形，所以应分两种情况求解；若题中给出图形，按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时，两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧．

　　例3、（武汉市，2002）已知：如图，⊙O和⊙O₁内切于A，直线OO₁交⊙O于另一点B，交⊙O₁于另一点F，过B点作⊙O₁的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E．求证：

　　(1)CD＝DE；

　　(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论．

　　证明：（1）连结DF、AD，

　　∵AF为⊙O₁的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，

　　∴∠DFE=∠EDA，

　　∵BC为⊙O₁的切线，∴∠CDA=∠DFE，

　　 ∴∠CDA=∠EDA，

　　连结AC，∵AB为⊙O的直径，

　　∴AC⊥BC，又AD公共，

　　∴Rt△EDA≌Rt△CDA，

　　∴CD＝DE．

　　（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立．证法同（1）．

　　说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题．

　　例4、（宁波市，2002）如图，⊙O’经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO’交⊙O于点Q、D，交⊙O’于点P，交EF于点C且EF= ，sin∠P= ．

　　(1)求证：PE是⊙O的切线；

　　(2)求⊙O和⊙O’的半径的长；

　　(3)点A在劣弧 上运动(与点Q、F不重合)，连结PA交 于点B，连结BC并延长交⊙O 于点G，设CG=x，PA=y．求y关于x的函数关系式．

　　证明：（1）连结OE，∵OP是⊙O’的直径，

　　∴∠OEP=90°，∴PE是⊙O的切线．

　　（2）设⊙O、⊙O’的半径分别r、r’．

　　 ∵⊙O与⊙O’ 交于E、F，

　　∴EF⊥OO’， ．

　　∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE．

　　∴sin∠OEC= sin∠OPE= ，

　　∴sin∠OEC= ，即 r，

　　 ，得r=4．

　　在Rt△POE中，sin∠OPE= ，∴r’=8．

　　（3）按题意画图，连结OA，∵∠OEP=90°，CE⊥OP，

　　∴PE²=PC·PO．又∵PE是⊙O的切线，∴PE²=PB·PA，∴PC·PO=PB·PA，

　　即 ，又∵∠CPO=∠APO，∴△CPB∽△APO，∴ ，

　　∴BC=60/PA．由相交弦定理得BC·CG=EC·CF，∴BC=15/CG，

　　∴PA=4CG，即y=4x（ ）．

　　说明：此题为综合题目，主要应用：切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识．

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