第十六节 正多边形和圆

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小圆覆盖大圆

　　“覆盖问题”在实际中经常遇到，如三颗同步通信卫星就可以覆盖整个地球，一个物体能否覆盖住另一个物体等等．下面举一个日常生活中的问题：在一场演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但不巧，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径l米的灯光代替，使其灯光照到指定区域的每一点．那么这样至少需几盏代用灯？

　　我们用数学语言叙述即最少需要几个半径为l的圆才能完全覆盖半径为2的圆？(各圆可相互叠放)

　　设半径为2的圆的圆心是O，在圆周上作正六边形ABCDEF，其边长都是2．再分别以各边中点为圆心作六个半径为l的圆(见图)各圆的圆周除相交于A，B，C，D，E，F各点外，还相交于A_l，B_l，C_l，D_l，E_l，F_l各点并构成边长为l的正六边形的顶点．涂线部分只要以O为圆心并以半径l作圆即可覆盖，一共要七个圆．

　　不难看出只用六个小圆是不行的．大圆的圆周必需有六个小圆才能盖满，这时中央的小圆是不可缺少的．