第十七节 正多边形的有关计算

典型例题

　　例1．求同圆的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比．

　　分析：边数相同的正多边形是相似形，因此要求同因的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比，只需求出相似比(边长比、边心距比、半径比均为相似比)

　　解：如图，连接OA’、OA，则在△ABC中，

　　 ．

　　∵OA’、OA分别为⊙O；的内接正六边形的半径和外切正六边形的半径，

　　∴它们的相似比=

　　∴周长比为 ， 面积比为 ．

　　说明：①转化为直角三角形；②同圆的内接正n边形与外切正n边形的相似比为 ．

　　例2、如图，⊙O为正三角形ABC的内切圆，EFGH是⊙O的内接正方形，且 ，求正三角形的边长．

　　分析：因为⊙O是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键．

　　解：连结OB、OE、OF，   在等腰直角三角形OEF中，

　　 ．

　　在Rt△BOF中，∠BOF=60°，OF=1，

　　∴BF=OF·sin60°= ．

　　∴BC=2BF=2 ．

　　故正三角形的边长为2 ．

　　说明：应用圆外切三角形和圆内接正方形的性质，构造直角三角形．

　　 例3、如图，⊙O的直径为AB、CD，AB⊥CD，弦MN垂直平分OB．求证：CM为正十二边形的一个边，MB为正六边形的一个边，CB正四边形的一个边，MN为正三角形的一个边．

　　证明：连结OM、ON

　　∵MN垂直平分OB，∴OM=MN．

　　∵OM=OB，

　　∴△OBM为等边三角形．

　　∴∠MOB=60°，即360°/n=60°，

　　∴n=6，∴MB为正六边形的一个边．

　　∵AB⊥CD，∴∠COM=30°，即360°/n=30°

　　∴n=12，∴CM为正十二边形的一个边．

　　同理由∠COB=90°，得CB正四边形的一个边，∠MON=120°，得MN为正三角形的一个边．

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