第三节 交集、并集

1．教材分析

（1）知识结构

　　本节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．

（2）重点难点分析

　　重点：交集与并集的概念；

　　难点：弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．

　　①本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程 的解集，则是求方程 和 的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式 的解集，则是求 和 的解集的并集，或是求不等式组 与 及不等式组 与 的解集的并集．
　　②本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别．突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合．利用数形结合的思维，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．

2．教法建议

　　（1）注重数形结合，从集合A和B的文氏图中引出交集、并集的概念
　　在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A和集合B的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础．
　　（2）注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力
　　教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即：

①

②

　　对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”．
　　①中的“且”字，它说明 的任一元素 都是A与B的公共元素。由此可知， 必是A与B的公共子集，即： ．
　　②式中的“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“ ”这一条件，包括下列三种情况： ， ，且 （很明显，适合第三种情况的元素 构成的集合就是 ，它不一定是空集）。还要注意，A与B的公共元素在 中只出现一次。因此， 是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合。
　　由定义可知，A与B都是 的子集，联系到 都是A，B的子集，可得下面的关系式：

（3）运用对比教学的方法，使学生区分开交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并．
　　教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容．见下表．

　　（4）培养用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的能力
　　用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）．
　　作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可打提高数形结合思维能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力．
　　（5）适当地运用集合关系进行简单推理
　　运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力．例如利用集合相等完全可以证明交集与并集的性质和推论，可分为两个步骤去实施：
　　（1）先举一些具体的集合的实际例子，然后代入性质或推论，说明它们都是成立的（感性认识）。
　　（2）再尝试用学过的知识去证明这些性质或推论是成立的（逻辑推理）。
　　例：证明 ．
　　（1）说明：设 ， ， ．
　　 则   ，      ；
　　　　  ，       ．
　　所以 ．
　　（2）证明：设 ，则 ，且 ，故 ，且 ， ，
　　即    ，且 ，
　　从而 ．
　　根据集合相等的定义，则 ．
　　类似地，可说明和证明其他的性质和推论．

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