第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切

教学建议

4.6 两角和正弦、余弦、正切

知识结构

重点与难点分析

　　本节重点是正弦、余弦的和角公式，而余弦的和角公式更基础，因为正弦的和角公式是由它和诱导公式推导出的，这两个公式不仅是其它和（差）角公式的基础，而且还是倍角公式的基础，也是前面诱导的公式的一般形式. 对两角和的正弦、余弦公式决定本节其它公式以及后面公式的理解．本节另一个重点是公式的运用，由于公式比较多、复杂，运用时要注意技巧，通过典型题目的分析讲解，掌握分析问题解决问题的方法，培养学生逻辑思维能力和分析问题能力．

　　本节难点是余弦和角公式的推导以及本节公式的综合运用．首先学生对两角和余弦的理解有一定的难度，误认为存在 = + 关系，通过具体实例消除学生的误解．学生很难理解利用用单位圆、平面内两点间的距离公式等几何知识与三角函数建立联系，这里让学生了解即可．由于证明的是等式因此要在单位园中寻找等量关系，通过角间关系让学生找到 ，再利用三角函数表示等量关系．公式的综合运用涉及的公式较多，而且公式中角和函数名的多变性，公式间的联系紧密，使得解题时公式的选择有一定的困难．有些题目的技巧性较强，将题目的部分系数或角变形，添加，拼凑等技巧，学生不易想到．

教法建议

　　1．本节内容是在学生掌握任意三角函数的的基础上，进一步研究两角和与差的三角函数与单角三角函数的关系，首先要学生理解两角和（差）的三角函数的意义，可以借助三角函数线理解两角和（差）的三角函数几何意义．然后再通过具体实例消除学生的误解 ，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开．

　　2．平面内两点间的距离公式应用十分广泛，证明难度不大，可以适当提示让学生整理得出，下一章利用向量也可以证明此公式，而且公式利用率比较高，因此使学生理解它的由来并要求学生记住．

　　3．两角和的余弦证明是本节的难点之一，是推导出其它和（差）角三角函数公式的基础，因此首先要把它讲透．首先让学生知道，要用单角的三角函数表示两角和（差）的三角函数如何在两者之间建立联系．充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式以及多媒体动画（或投影），让学生寻找几何图形中的等量关系， ，然后通过等量关系，在单角与两角和的三角函数之间建立等量关系．从而整理即可得公式．另外要使学生明确公式中的角 ， 为任意角，给学生说明：由于在单位圆中作的角 ， 是任意的，因此点 ， ， 可以在任何象限内或坐标轴上；而平面内两点间的距离公式也具有一般性，寻找的等量关系是根据圆心角相等所对的弦相等得到的，因此公式中与角有联系的量间的等量关系都具有一般性，所以公式对于任意角 ， 都是成立的．对于 的推导过程也具有一般性，因此角 ， 可以为任意角．同样 、 中的角 ， 也为任意角．

　　4．利用公式 把以前学过的余角的诱导公式 ， 中的角 推广到任意角，学生可以理解 中的角 为任意角，在推导 中要给学生说明 中的 既然是任意角，就可以用角（ ）替换 ，给学生强调这两者中的 不是同一个，把角 作为整体看作角 即令 ，可整理得到用 表示的公式，替换字母后即可．

　　5．正切的和角公式推导，启发学生思考利用同角三角函数的关系推到，在推导过程学生容易忽略角的限制，让学生讨论总结出完整的公式，明确 与前两个公式中角的区别，要用 必须考虑角的范围是否满足，对于不能使用此公式需要考虑其它的方法，可适当举例说明，如 ．在证明 让学生思考能否如同 ， 一样得到，需要先引入 ，使学生了解三角函数的证明方法不唯一，要善于发现总结好的方法，从中进一步了解三角函数之间的各种关系．

　　6．和（差）角的三角函数公式证明后，课后让学生总结公式间的联系与区别，课上再一起完善关系图，在解题时能灵活的选择公式使用．

　　7．在讲解例题时关键是题目的分析，解题方法的寻找，使学生逐步掌握如何在已知与所求结果之间建立联系．对于有些题目可以给与适当提示由学生去探索，如 ，学生很容易想到的是先求 ，首先给学生肯定此方法可以求解，然后问学生能否还有其它更简单的？提示 特殊值，再让学生思考角 ， 之间的关系，这样可以利用哪个公式求解？使学生了解解题方法的多样性，掌握如何分析寻找解题的思路．例题讲解后给与适当的总结回顾，使学生从整体在了解题目分析的过程．

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