第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切
【典例剖析】
例1 化简与求值.
(1)
(2)
分析:可先用诱导公式将三角式中的角度转化,然后再用两角和与差的三角公式化简与求值.
解:(1)原式
(2)原式
说明:本例第(1)题中四个角不相同,初看起来不能利用公式,但是当我们利用诱导公式将角度化为小于 的正角后,就会发现其内在关系,而对于第(2)题中的 与 ,由于它们互为补角,故也可用诱导公式化为相同的角.
例2 求 的值.
分析:发现此式与 用和角正切公式展开后之间的内在联系,即可求得所求的值.
解:∵
去分母整理,得
说明:灵活运用公式体现在变形应用公式,如本例,和差角正切公式是分式形式,根据需要可化为整式.
3 已知 , , ,求 的值.
分析:由 的范围及 的值,利用同角三角函数关系式可求 和 的值,同理可求得 的值,再用已知角 及 来表示未知角 ,即 ,然后利用两角差的余弦公式求得.
解:∵ ,
∴ .
∴
又∵ ,
∴
于是
说明:本题获解的关键是将 表示成: .由于可以求 与 相应三角函数值,所以利用两角差的余弦公式可顺利求得 的值.
例4 已知: , , , ,求 与 .
分析:研究角与角的关系,发现 , ,再求余弦值.
解:∵ , ,
∴
∵ , ,
∴
∴
例5 已知: , ,求 的值.
分析:欲求值,需化弦,得 ,可再求 ,
解:∵ ,∴ ①
∵ ,∴ ②
(①+②)÷(①-②)
得
说明:当题中异角、异名时,常需化角化名,有时将单角转化为复角(和或差),本题是利用展开,将复角化成单角,正(余)切和正(余)弦常常互化.
例6 已知: 是△ 的三个内角,且 .试判断此三角形的形状特征.
分析:(1)化去对数符号,对数式转化为有理式,(2)考察 的关系及大小,据此判明形状特征.
解:从 可得
, ,
.
移项化为
即 ∴
∴ △ 为等腰三角形.
说明:(1)从角与角的关系探究三角函数间的关系;反之,利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系,这是常用的基本方法.
(2)若此题用下面的方法继续探究下去,你认为怎样?为什么?
由于 ∴ 故 .
∵ ∴ ,
得 , , ,
∴ 此三角形是等腰直角三角形.
例7 在△ 中,求证 .
分析: 注意到 ,∴ ,
移项得 ,取正切,用诱导公式和 整理即是.另外, , .都可得出相类拟的等式.
证明: ∵ ∴
故
即
去分母得
例8 已知: 与 是 的解,若 ,求 与 的值.
分析:∵ 与 是二个未知数,∴列出二个方程便可解得.
解:设 ,则 ,
∵ ,∴ ,
解得 或 .
(Ⅰ)当 时,有 ,
∴ ,
.
(Ⅱ)当 时,有 .
∴
.
说明:“列方程求未知数”这是数学的常用方法,要熟悉方程的思想方法并会灵活运用,如果 , 是某二次方程的二根,则韦达定理与公式 有着必然的联系;若 , 是某二次方程的二根,则韦达定理与 有着必然联系,要充分利用这些联系解题.