第十节 正切函数的图象和性质
例1.比较下列各数大小:
(1) 与 ;(2) 与 .
分析:同名函数比较大小时,应化为同一单调区间上两个角的函数值后,应用函数的单调性解决;而对于不同名函数,则应先化为同名函数再按上面方法求解.
解:(1)
因为 ,而 在 内是增函数
所以 , 即
(2)
而 在 内是增函数,所以
即
小结:比较两个三角函数值的大小,首先将函数名称统一,再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内,通过函数的单调性进行比较大小.
例2.求函数 的定义域.
分析:根据自变量 满足的条例列出不等式组,解之即可.
解:由题得:
所以定义域为 ( ).
小结:注意不要忽略了正切函数存在的条件,本题中是 , .
例3.(1)如图,函数 在一个周期内的图像是( )
(2)要得到 的图像,只需将 的图像( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
分析:对于(1),可从周期、与 轴的交点等方面判断真假;对于(2),可将 化成 ,但要注意不是平移 的图像.
解:(1)由函数表达式 知,这个函数的最小正周期为 ,因此可排除 、 ,又函数表达式可化成 ,而这个函数的图像与函数 的图像形状相同,且将其向右侧平移 个单位.答案:A
(2)因为 ,所以将其向右平移 个单位可得 的图像.答案:D
小结:对于正切函数 ( , )的图像变换问题完全可比照正弦函数 ( , )的图像变换过程进行.
例4.作出函数 的图像,并根据图像求其单调区间.
分析:要作出函数 的图像,可先作出 的图像,然后将它在 轴上方的图像保留,而将其在 轴下方的图像向上翻(即作出关于 轴对称图像,)就可得到 的图像.
解:由于
所以其图像如图所示,单调增区间为 ;单调减区间为 .
小结:利用正切函数的图象过 (0,0)三点且以 , 为渐近线,这样根据这三点两线就可以大体勾画出此图.再利用图象变换得到题目要求的图象,推导出函数性质.
例5.求函数 的最小正周期.
分析:化简函数式半作出图形,再从图像上观察.
解:∵ ( , ),作出 ( , )的图像.
小结:求函数的周期通常有两种方法:转化为已知函数和图象观察,通过图象观察要注意图象草图尽量准确,尤其是定义域的范围.
从图像上面可以看出函数 的最小正周期为 .
小结:在函数化简的过程中一定要注意函数的等价变换,尤其是要注意定义域.