第一节 向量

一．教学目标

　　1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；

　　2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

　　3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；

　　4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.

二．教学具准备

　　直尺、投影仪．

三．教学过程

　　1．设置情境

　　师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？   

　　生：不能，因为没有给定发射的方向．

　　师：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

　　生：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．

　　师：对！力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．

　　（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等

　　（2）向量的表示方法：

　　①几何表示法：点和射线

　　有向线段——具有一定方向的线段

　　有向线段的三要素：起点、方向、长度

　　符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 （注意起讫）．

　　②字母表示法： 可表示为 （印刷时用黑体字）

　　例   用1cm表示5n mail（海里）

　　（3）模的概念：向量 的大小——长度称为向量的模。

　　记作：| |，模是可以比较大小的

　　注意：①数量与向量的区别：

　　数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

　　②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

　　2．探索研究（学生自学概念）

　　（1）介绍向量的一些概念

　　师：长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？（学生看书回答）

　　生：长度为零的向量叫做零向量，表示为：0；长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个．

　　师：满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？

　　生：如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同．

　　师：有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？

　　生：平行．

　　师：对！我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点 ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

　　生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上．

　　师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量．

　　（2）例题分析

　　【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案

　　（1）平行向量的方向一定相同？

　　（2）不相等的向量一定不平行.

　　（3）与零向量相等的向量是什么向量？

　　（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？

　　（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

　　（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？

　　（7）共线向量一定在同一直线上吗？

　　解：（1）根据定义：平行向量可以方向相反，故命题（1）为假；

　　　　（2）平行向量没有长、短要求，故命题（2）为假；

　　　　（3）只有零向量；

　　　　（4）零向量；

　　　　（5）平行向量；

　　　　（6）模相等且方向相同；

　　　　（7）不一定，只要它能被平移成共线就行．

　　说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．

　　【例2】如图，设 是正六边形 的中心，分别写出图中与向量 、 ，相等的向量．

　　解：

　　　　

　　　　

　　练习：（投影）在上题中

　　变式一，与向量 长度相等的向量有多少个？（11个）

　　变式二，是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？（存在）

　　变式三，与向量 共线的向量有哪些？（有 、 和 ）

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）下列各量中是向量的是（      ）

　　A．动能　　B．重量　　C．质量　　D．长度

　　（2）等腰梯形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、 分别在两腰 、 上， 过 且 ，则下列等式正确的是（      ）

　　A．　　B． 　　C．　　D．

　　（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量

参考答案：（1）B；  （2）D；    （3）相等，相反

4．总结提炼

　　（1）描述一个向量有两个指标：模、方向．

　　（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．

　　（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．

四．板书设计

向    量 1．向量的定义 2．表示法                        6．例题 3．零向量和单位向量              7．演练反馈 4．平行向量（共线向量）          8．总结提炼 5．相等向量