第五节 线段的定比分点

教学设计示例

一．教学目标

　　1．理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；

　　2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；

　　3．向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.

二．教学重点  线段的定比分点和终点的坐标公式的应用．

　　教学难点   用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还时λ＜0．

三．教学具准备

　　投影仪，直尺．

四．教学过程

　　1．设置情境

　　已知线段 的两个端点 、 ， 为线段 所在直线上任一点，由共线向量知识，必有 ．我们能否解决这样的问题，（1）已知 及 、 ，求P点坐标 ；（2）已知 、 及 ，求 值．

　　本节课就来讨论上述两个问题，（板书课题——线段的定比分点）

　　2．探索研究

　　（1）师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则．

　　生：两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积．

　　师：已知直线l上两点 、 ，在直线l上取不同于 、 的任一点P，则P点的位置有哪几种情形？

　　生：有三种情形，P在 之间；P在 的延长线上，P在 的延长线上．

　　师：请得很好，下面我们就P在直线 上的三种情况给出定义：

　　设 、 是直线l上的两点，点P是l上不同于 、 的任意一点，若存在一个实数 使 ，则 叫做点P分有向线段 所成的比．

　　你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定 的取值范围吗？（启发学生从向量的方向上考虑）

　　生：当P在 之间时， 与 方向相同，所以 ；当点P在 的延长线上时， ；若点P在 的延长线上时，同理可得 ．

　　下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式

　　师：设 ， ，P分 所成的比为 ，如何求P点的坐标呢？

　　（按以下思路引导学生进行思考）

　　师：设 ，你能用坐标表示等式 吗？

　　生：

　　　　　

　　师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？

　　生：

　　师：对！这就是线段 的定比分点P的坐标公式，特别地，当 时，得中点P的坐标公式：

　　（2）例题分析

　　【例1】  已知两点 ， ，求点 分 所成的比 及y的值．

　　解：由线段的定比分点坐标公式得

　　

　　【例2】  如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ，求点G的坐标．

 解：∵D是AB的中点

　　∴点D的坐标为

　　∵

　　∴

　　由定比分点坐标公式可得G点坐标为：

　　

　　即点G的坐标为 ，也就是 的重心的坐标公式．

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）如图所示，点B分有向线段 的比为 ，点C分有向线段 的比为 ，点A分有向线段 的比为 ．

　　（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x轴交点的坐标是       ，和y轴交点的坐标是            ．

　　（3）如图所示， 中，AB的中点是D（－2，1），AC的中点是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐标．

参考答案：（1） ；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作图得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）

　　4．总结提炼

　　（1）定比分点的几种表达方式：

　　 ……向量式

　　 ……坐标式

　　 ……公式形式

　　（2）中点公式，重心公式要熟记．

　　（3）定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．

五．板书设计