第五节 线段的定比分点
例1.已知 , ,且 , ,求点 、 的坐标.
分析:借助线段的定比分点式求解.
解:设 , .
由 ,可得 ,即 , .
运用定比点公式可知
仿上可求得 ,
综上可知,欲求 、 两点坐标为 , .
小结:对于本题欲求 点的坐标时,也可以由 ,得到 ,从而由定比公点公有 得 , . 同理,也可以由 求得 点坐标,这表明,我们在利用定点比分点公式时,既要注意使用公式的前提,同时也要注意灵活地使用公式。
例2.已知 的三顶点坐标分别为 , , ,直线 ,交 于 ,且直线 平分 的面积,求 点坐标.
分析:本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题,解题时,应先确定 分 的比,再利用公式求解.
解:设直线交 于 ,依题意, ,又因为 ,故 ∽ ,所以 , . 即点 分 的比为 .
设 的坐标为 ,由定比分点公式有 , .
∴ 点的坐标为 .
小结:求解定比分点坐标的关键是求出定比 的值. 求 的值,除注意 的符号外,还常常用到平面几何知识,如相似形的性质,比例线段等等。
例3.已知 、 不共线, , ,将符号下列条件的 向量写成 的形式:
(1)点 分 所成的比 ,求 ;
(2)点 分 所成的比 ,求 .
分析:借助定比分点的概念解题。
解:(1)由 ,得 ,
即 .
故 ,
即 .
(2)由上可知
即 .
小结:本题从表面上看不涉及分点的坐标问题,但利用定比分点的概念,导出了 这个与定比 有关的等式,这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式,即向量形式. 值得注意的是,这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。
例4.若直线 与连接 、 两点的线段有交点,求实数 的取值范围.
分析:当直线与线段 有交点时,这个交点分有向线段 所成的比 不小于0,从而得到关于 的不等式,但应注意考虑端点的情况.
解:当直线过 点时,有 ,∴ .
当直线过 点时,有 ,∴ .
当直线与线段 的交点在 、 之间时,设这个交点 分 的比为 ,它的坐标为 ,则
, .
而直线过 点,则 ,
整理,得 .
由 ,得 ,解得 或 .
故所求实数 的取值范围为 或 。
小结: (1)定比 的符号是求解本题的关键.应当注意,当点 在线段 上时, ;当点 在线段 或 的延长线上时, . 切不可将之混为一谈.
(2)恰当地利用定比 的几何意义,可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题.