第七节 平面向量数量积的坐标表示

如何培养学生提出问题

温州三溪中学 张明

　　当代数学教学模式的发展趋势更突出学生的主体地位，老师的主导作用．而研究性学习是在老师的指导下，学生从自然，社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中主动的获取知识，应用知识，解决问题的学习过程．其中培养学生发现问题和解决问题的能力是其最重要的目标之一．所以研究性学习符合教学模式的发展趋势．这种研究性学习从认知心理学上讲也是学生在原有的认知基础上的自主建构．所以研究性学习也有其深刻的心理学背景．

　　而本论文主要对如何选择和确定一个专题的一点思考．

　　爱因斯谈说过：提出问题比解决问题更重要．提出问题相当于发现一个新规律．至于正确处理与否只不过是时间问题，总可以证明或证伪．

　　在做研究性学习时，老师一般自己去选择一些专题，交给学生，让学生在一定时间内完成．我觉得还应当更进一步．老师选最后过渡到学生自己选，即让学生自己提出一个问题，并解决它．这对培养学生思维独立性有巨大帮助，对进一步培养学生的创新能力和创新精神也有巨大的促进作用．

　　那如何培养学生提出问题

　　⑴在课堂教学中培养．

　　①多采用启发式教学，创造一个良好的问题情境，问题贯穿整堂课始终，问题由学生提出．

　　②加强数学思想方法的教学．比如：

　　ⅰ）对比方法教学：正面与反面对比，正向与逆向对比，题型间对比都会与原有认知冲突从而提出问题．

　　ⅱ）在讲授猜想，归纳，证明时有助于学生提出问题，故不可轻视．

　　ⅲ）特殊化思想教学有助于学生在事物的特殊处提出问题．如常常验证公式在特殊情况下是否成立．

　　⑵培养学生观察自然，社会与生活各种现象的能力．这主要在课堂教学中找到概念的实际模型，在教学中加强数学应用能力教学．比如讲向量内积的教学可采用下列实际模型．某人到商场买铅笔，钢笔，圆珠笔，分别为a,b,c支，价格分别为每支m,n, 元．设笔数组成三维向量(a,b,c)，价格组成三维向量(m,n,l)，则内积 即为价格总数．

　　⑶给学生讲讲科学家提出问题的故事，激起学生提出问题的兴趣，并意识到提出问题的重要性．比如，哥德巴赫猜想，费尔马大定理都给数学注入活力．

　　⑷教导学生平时多多问自己几个为什么．比如：

　　为什么这种解法要比原先解法简单．

　　我为什么会想到这种办法．

　　为什么我这样做是错的，而那样做却是对的．

　　⑸老师自身要加强修养，培养自己提出问题的能力．把自己提出问题的过程，思路，当时情形讲给学生听．比如有一次我问自己，三角形有无穷多个但到底有“多少”个即基数是多少．后来经过证明发现跟实数一样“多”．

　　证明如下：把三角形放在直角坐标系中，则三角形由三个顶点坐标确定．设 显然一个三角形对应一有限实数列 而假定 取遍所有实数，因为三点不能共线，故 有限制．由定理实数列全体 的基数是C（C为实数基数）得三角形集基数A≤C,显然A≥C,所以A=C

　　而一个三角形有一个外接圆与它对应，一个圆有一个内接三角形与它对应，所以圆跟三角形一样多．

后来发现平行四边形，正方形，五边形，六边形等等集合的基数都是C．

　　当老师把自己的亲身体会讲给学生听时，学生由于老师思维的别开生面，新奇，他会由不自觉到自觉模仿老师的行为．

　　最后当学生初步具备这种提出问题的能力时，在实行研究性学习时，老师就可以让学生自己提出问题并解决它．

巧用向量和求三角式的值举例

　　例：求

　　如图，在直角坐标系平面内作边长为1的正七边形，则七长边所对应的七个向量为：

　　 、 、 、 、 、 、 ．

　　显然，它们之和为0，用坐标表示，它们又可分别表示如下：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　由

　　　　

　　∴

　　即

　　同理可得：

　　如果将正七边形以原点为中心逆时针旋转 ，还可以证昨：

　　请同学尝试证明下列问题：

　　设 ，求下列三角式值.

　　（1） .

　　（2）

参考答案：（1） ；（2） .