第九节 正弦定理、余弦定理

教学建议

知识结构

　　运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具，比较系统地研究了斜三角形求解这个课题．知识结构可用框图表示如下：

重点难点分析

　　教学重点是正弦定理和余弦定理及其推导过程，正弦定理、余弦定理的运用．正弦定理和余弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理，对于它们的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视．用平面向量的数量积方法证明这两个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例．利用正弦定理和余弦定理解斜三角形是中学数学的重点之一，教学上必须充分重视，解斜三角形不仅有实际应用的意义，还由于它要求学生综合运用正弦定理、余弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际问题，有助于这些知识的掌握和培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视．

　　教学难点是运用正弦定理和余弦定理解斜三角形．对于利用向量推导正弦定理和余弦定理的方法，学生理解有一定的困难，关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和三角函数联系起来．解斜三角形时如何根据已知条件判断使用正弦定理，还是余弦定理，这要求学生对正弦定理和余弦定理要很好的理解，还要与内角和定理及其它三角形和三角函数知识相联系．用正弦定理解已知两边及其中一边对角的三角形，由于已知边、角取值不同，问题有无解、一解和两解各种情况使学生不易掌握．教学上处理得当，这一难点并非很难克服．

教法建议

　　1．复习提问勾股定理，解直角三角形基本情况，通过直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般形式，然后引入新课．

　　2．可先通过直角三角形特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如要研究直角 中的边角关系，若C为直角，则有 ， ，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到 ，进一步提问，等式能否与边c和 建立联系？从而得到正弦定理．利用向量法证明正弦定理时关键是引导学生如何通过向量的数量积把三角形的边长和三角函数联系起来，由于向量中与三角函数有联系是数量积，而且是余弦，如何选择辅助向量来建立联系？教学中在关键处设问，引导学生主动探究，使学生对正弦定理的导出有透彻的理解．

　　3．正弦定理的其它证明方法可让学生课后探讨：

　　传统的几何法，可以利用三角形面积 ，各式中分别除以 ，从而得到正弦定理．还可以通过圆内接三角形证明，在 的内接圆中，过点A作圆的直径AD，连接CD，则 ，在 中有 即 ，同理可得到其它边角关系，即可证得．

　　利用向量也可采用如下方法：

　　过 的顶点A作BC边上的高，垂足为D．

　　（1）当D落在边BC上时， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，由于 、 在 方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知

　　即

　　所以    

　　即

　　（2）当D落在BC的延长线上时，同样可以证得．

　　4．运用正弦定理解已知两角和任一边及已知两边和其中一边的对角这两个类型的问题，在教学中紧紧抓住这一点启发学生得出具有什么条件的三角形能够运用正弦定理，这样时学生能正确运用正弦定理解题．其中例题讲解时，对于解的不同情况，用图形展示出来，以帮助学生理解．

　　（5）余弦定理的证明也可先有直角三角形特例引入，让学生发现余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，使学生理解两者之间的内在联系，将新知识纳入已有的知识结构中去，为讲解余弦定理打下基础．让学生探讨余弦定理及其变形公式的应用条件，更好的理解定理及其应用．