第九节 正弦定理、余弦定理
例1.在 中,已知 求 和 .
分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题.可运用正弦定理来求解,但应注意解的情况.或借助余弦定理,先求出 后,再求出角 与角 与角 .
解:解法一: ∴问题有两解.
由正弦定理,得
(1)当 时,
(2)当 时,
故
解法二:由余弦定理有
即
整理,得 解得
又
当 时,由①可得
故 ;
当 时,由①可得
故
故
小结:对本题,一般会误认为只能动这用正弦定理求解,而余弦定理似乎难以派上用场.其实不然,解法二就是珍上明证.
事实上,正弦定理与余弦定理是等价的,完全可以相通.凡是能用正弦定理解的三角形,用余弦定理也能求解.反之亦然,只不过解题过程的繁简程度有所不同而已.鉴此,我们在学习中,不能把正弦定理与余弦定理完合割裂开来,而要用一种联系的观点来看等待它们.
已知两边和其中一边的对角,三角形的形状一般不是确定的.若用正弦定理解这类问题时,必须根据条件判明这个三角形是否有解,有解时是一解还是两解.具体方法是:若给出的角是锐角(如本例),若这角的对边小于另一边,则有两解.反之则只有一解;若给出的角是钝角,若这角的对边大于另一边,有一解.反之则无解.显然,这种判断方法的依据就是:同一三角形中大边(角)对大角(边).
若用余弦定理解此类问题,如何来判断这个三角形是否有解,请读者自行考虑.
例2.在 中,已知 求
分析:已知三边,可用余弦定理直接求角,先求出两个角后,再用内角和求第三个角.使用余弦定理求角时,一般在判断三条边的大小后,可先求最大角,也可选求最小角,如果最大角小于60°,最小角大于60°,可知三角形无解.
解:由已知, 最大.
由余弦定理,得
由正弦定理,得
为锐角, .
于是
小结:此题也可由余弦定理先求最小角A, 再求其他角.由于题目已知三边,所以利用余弦定理求得最大角或最小角后,再求第二个角,仍可用余弦定理,例如由
例3.如图所示,在 中,已知 求 边上的高.
分析:由已知设AB=7x,AC=8x,故要求AD的长只要求出x,△ABC中已知三边只需再有一个角,根据余弦定理便可求x,而用正弦定理正好可求角C.
解: 在△ABC中,设AB=7x,AC=8x.
由正弦定理得
舍去,否则由 知B也为钝角,不合要求).
再由余弦定理得
在 中,
小结:利用比例式的设法是一种解题常用的技巧,可使运算简便.
例4.已知方程 的两根之积等于两根之和,且 为 的两边, 为两内角,试判定这个三角形的形状.
分析:先由已知条件得出三角形的边角关系.要判定三角形的形状,只须将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定.
解:解法一:设方程的两根为 ,由韦达定理知:
由题意有
根据余弦定理得
化简得
∴ 为等腰三角形.
解法二:仿(1)得
由正弦定理得:
故 为等腰三角形.
小结:由三角形的边角关系判定三有的形状,其本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换,或全化为边的关系、或全化为角的关系,然后利用简单的平面几何知识即可判定.
例5.在 中, 求证: 成等差数列.
分析:本例的已知条件是边角关系式,要证的是边的关系.可以考虑把已知条件化为边的关系,也可以考虑把已知条件化为角的关系先进行化简,然后再转化为边的关系.
证法一:
证法二:
以下同证法一.
小结:三角形中边角关系恒等式的证明,主要是根据正、余弦定理,或者全化为边的关系转化为代数问题处理,或者全化为解的关系转化为三角问题处理.
例6 .如图,在 中, 分别为角 的对边, 是 外接圆的直径, 求 的长.
分析:要求出三角形外接圆直径长,根据正弦定理,只要求出 的一个内角和它的对边.由题设等式的特点,利用余弦定理可求 ,接着它的对边 在 中可求,问题得到解决.
解:由余弦定理:
在 中,由余弦定理,
小结:在较为复杂的图形中求边或角,首先要找出有关的三角形,合理使用正弦定理或余弦定理.