第一节 直线的倾斜角和斜率

教学设计示例

直线的倾斜角和斜率

教学目标：
　　（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，
　　（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
　　（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
　　（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学重点、难点：直线斜率的概念和公式
教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

（一）直线方程的概念

　　如图1，对于一次函数 ，和它的图像——直线 有下面关系：

　　（1）有序数对（0，1）满足函数 ，则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）．

　　（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足 ． 

　　一般地，满足函数式 的每一对 ， 的值，都是直线上的点的坐标（ ， ）；

　　反之，直线上每一点的坐标（ ， ）都满足函数式 ，因此，一次函数 的图象是一条直线，它是以满足 的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

　　从方程的角度看，函数 也可以看作是二元一次方程 ，这样满足一次函数 的每一对 ， 的值“变成了”二元一次方程 的解，使方程和直线建立了联系．

　　定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

　　以上定义改用集合表述： ， 的二元一次方程的解为坐标的集合，记作 ．若（1） （2） ，则 ．

　　问：你能用充要条件叙述吗？

　　答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．

（二）直线的倾斜角

【问题1】

　　请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．

 ； ；

　　过定点，方向不同．

　　如何确定一条直线？

　　两点确定一条直线．
　　还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．

【导入】

　　今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．

【问题2】
　　在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．
　　学生：展开讨论．
　　学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．
　　通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．
【板书】

　　定义：一条直线l向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫做直线 的倾斜角．

　　（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2） 轴的正方向，（3）最小正角．）

　　特别地，当 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
　　由此定义，角的范围如何？
　　0°≤α＜180°或0≤α＜π   如图3

　　至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．

（三）直线的斜率

【问题3】
　　下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

　　学生：在练习本上画出直线，写出方程．
　　 30° ß--à ＝

　　45° ß--à  ＝

　　135°ß--à ＝

　　（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）

【演示动画】

　　观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系

　　(1)  直线变化→α变化→ 中的 系数 变化    （同时注意 α的变化）．

　　(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化    （同时注意 α的变化）．

　　教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作 ，即 ．

　　这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

　　指出下列直线的倾斜角和斜率：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率．
　　结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

　　注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

　　α＝0°      ß--à    ＝0

　　0°＜α＜90° ß--à    ＞0

　　α＝90°     ß--à   不存在

　　90°＜α＜180°ß--à  ＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

　　如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率；

　　如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

　　即已知两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)（其中x₁≠x₂），求直线P₁P₂的斜率．

思路分析：

　　首先由学生提出思路，教师启发、引导：

　　运用正切定义，解决问题．

　　(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）

　　(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

　　(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量 ，使P₁与原点重合，得到新向量 ．）

　　(4)P的坐标是多少？（x₂-x₁，y₂-y₁）

　　(5)直线的斜率是多少？ ＝tgα= （x₁≠x₂）

　　(6)如果P₁ 和P₂的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

　　评价：注意公式中x₁≠x₂，即直线P₁ P₂不垂直x轴．因此当直线P₁P₂不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．

【练习】

　　(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 α？

　　(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

　　(3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？

　　(4)求经过两点 (0，0)、 (-1， )直线的倾斜角和斜率．

　　(5)课本第37页练习第2、4题．

　　教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．

【总结】

　　教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：

　　(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

　　(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时， α不存在．

　　(3) ＝ （ ），没有．

【作业】

　　1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．

　　2．思考题

　　（1）方程 是单位圆的方程吗？

　　（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

　　（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

　　（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？

板书设计

7．1直线的倾斜角和斜率 一、直线方程 二、直线的倾斜角

三、直线的斜率 四、斜率公式

练习 小结 作业

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