第一节 直线的倾斜角和斜率

典型例题

例1 判断下列命题是否正确：

　　①一条直线l一定是某个一次函数的图像；

　　②一次函数 的图像一定是一条不过原点的直线；

　　③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；

　　④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．

解：①不正确．直线 ，不是一次函数；

　　②不正确．当 时，直线过原点．

　　③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程 的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程

　　④不正确．以方程 ( )的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 ( )的图像．

　　说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件．

例2 设直线的斜率为k，且 ，指出直线倾斜角 的范围．

　　解： ，由已知得 ．

    　　 ， ．

    　　∴ 直线的倾斜角的范围是 ．

例3 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．

　　（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．

　　分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有 ；当l的倾斜角大于90°时，则有 ．

　　解：如图1，有分析知

     ＝－1，

　　     ＝3．

　　∴ （1） 或 ．

           （2）arctg3 ．

　　说明：学生常错误地写成－1 k 3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在 上单调递增．

例4 已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线 倾斜角的一半，求直线l的斜率．

　　解1：设直线l的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为2

 tg2 ＝ ＝

        ∴ ＝

        化简得  3tg² +8tg －3＝0

解得  tg ＝ 或 tg ＝－3

　　   tg2 ＝ ＞0

　　∴  0°<2 <90°，  0°< <45°

　　∴  tg ＞0，故直线的斜率是 ．

解2：(思路要点)根据tg2 ＝ ＝ ，且2 为锐角，

　　易得sin2 ＝ 和cos2 ＝ ，

　　进一步有：tg ＝ = ．

　　说明：这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍，解２计算更容易．

例5 求经过两点A(2，1)，B(m，2)(m R)的直线 的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围．

　　分析：斜率公式成立的条件是 ，所以应先就m的值是否等于2进行讨论．

　　解： 当m=2时，

　　∴直线 垂直于 轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角 = ．

　　当m 2时，k＝

　　当m＞2时， ＞0   此时 ＝arctg （０， ）

　　当m＜2时， ＜0   此时 ＝ +arctg （ ， ）

　　说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法．

例6 已知a、b、m都是正数，且 ，试用解析法证明： >

证明：如图2，

在坐标平面上取点A(m，m)，B(a，b)，

则AB的中点为C( ， )

        显然OA、OB、OC的斜率满足

                   

        又  ， ， 1．

        所以 >

　　说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解．同时本题为构造性证明，不易想到．事实上，把分式看成斜率是常用的方法．

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