第三节直线与平面平行的判定和性质

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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教学设计示例一

9.3 直线与平面平行的判定和性质第一课时

教学目标
　　1．了解直线和平面的位置关系种类．
　　2．掌握直线和平面平行的判定、性质定理．
教具准备：投影仪（胶片）、三角板、自制模型等．
教学过程
［设置情境］
　　空间两直线有三种位置关系：平行、相交与异面．直线和平面有哪几种位置关系？教室天花板边缘的一条棱所在的直线与地面所在平面的位置关系属于哪一种？怎么判定？
［探索研究］
　　1．直线和平面的位置关系
　　天花板边缘的一条棱所在的直线与地面所在平面没有公共点，这就是线面的一种位置关系：平行．另外还有两种：在平面内和相交．
　　如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行．
　　一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
　　（1）直线在平面内—有无数个公共点．
　　（2）直线和平面相交—有且只有一个公共点．
　　（3）直线和平面平行—无公共点．
　　我们把直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
　　2．线面位置关系的画法
　　如图1是表示三种位置关系的图形．一般地，直线在平面内时，应把直线画在表示平面的平行四边形内；直线在平面外时，应把直线或它的一部分画在表示平面的平行四边形外．

　　直线与平面相交于点，规定记作：，不能写成；直线与平面平行，记作．
　　直线与平面是否平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证，所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理．
　　3．直线和平面平行的判定
　　直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
　　已知：，，（图2）
　　求证：．
　　证明：∵ ，
　　∴经过确定一个平面．
　　∵ ，而，
　　∴ 与是两个不同的平面．
　　∵ ，且，
　　∴ ．
　　下面用反证法证明与没有公共点，假设与有公共点，则，，点是的公共点，这与矛盾．
　　∴ ．
　　为便于记忆，我们通常把这个判定定理简单说成“线线平行，线面平行”．
　　例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．
　　已知：空间四边形中，分别是的中点（图3）

　　求证：平面．
　　证明：连结．
　　
　　
　　．
　　4．直线和平面平行的性质
　　直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
　　已知：，，（图4）．
　　求证：．
　　证明：
　　
　　．
　　我们常把这个性质定理简单说成“线面平行，交线平行”．
　　例2 在图5所示的一块木料中，棱平行于面．
　　（1）要经过面内的一点和棱将木料据开，应怎样画线？
　　（2）所画的线和面是什么位置关系？
　　分析：要画出锯木料时所用到的线，就是要画出图中的和各线，其中画出是关键，因为点和确定后，和很容易画出，怎样画出呢？显然，是截面（由点和棱所确定的平面）与面的交线．由已知面，可知．由于受木料形状的限制，过点直接画与平行的直线不好画．注意到木料上容易过点画与平行的直线，而是面与面的交线，由已知和以上的性质定理，容易推出．于是，我们可以通过画出过点与平行的直线来确定．
　　解：（1）在面内，过点画直线，使，交棱、于点、，连结就是应画的线．
　　（2）．
　　显然都和面相交．
［演练反馈］
　　1．课本P19练习1至3
　　2．课本P19习题9.3   1和2
［参考答案］
　　1．略
　　2．提示：设书脊所在直线为，桌面所在平面为，则或，∵ ，．
　　3．提示：       同理．
　　4．提示：在面内过点作即可．
　　5．提示：错、错、错、对．
［总结提炼］
　　利用线面平行的判定与性质定理必须记清条件，它们各有三个条件．
　　判定定理：，，
　　性质定理：，，
布置作业：课本P19～P20习题9.3 3，4，5．
板书设计：

1．线面位置关系 4．性质定理

2．判定定理 5．例2

3．例1

教学设计方案二

9.3 直线与平面的平行和判定第二课时

教学目标
　　1．巩固复习直线和平面的位置关系．
　　2．巩固复习直线和平面平行的判定与性质定理．
教具准备：投影仪（胶片）、三角板．
教学过程：
　　［复习引入］
　　1．直线和平面的位置关系：
　　（1）相交；（2）平行；（3）在平面内．
　　2．直线和平面平行的判定定理．
　　3．直线和平面平行的性质定理．
　　［探索研究］
　　例1   选择题：
　　（1）直线与平面平行的充分条件是（       ）
　　A．直线与平面内一条直线平行
　　B．直线与平面内无数条直线平行
　　C．直线与平面内所有直线平行
　　D．直线与平面没有公共点
　　（2）过直线外两点，作与平行的平面，这样的平面（       ）
　　A．能作出无数个                B．只能作出一个
　　C．不能作出                    D．上述情况都有可能
　　例2 如图1，是空间四边形，分别是四边上的点，它们共面且是平行四边形，求证：平面，平面．
　　分析：欲证平面，须证平行于平面内一条直线，显然，只要证即可．
　　证明：∵ 是平行四边形，
　　∴ ，可得平面，
　　又平面经过且与平面交于．
　　∴ ．
　　又平面．面
　　∴ 平面．
　　同理可证：平面．
　　评析：直线和平面平行的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用．证线面平行往往转化为证线线平行，而证线线平行又将转化为证线面平行．循环往复直至证得结论为止．证此类问题时一定要目标明确．由已知想性质定理，由结论想判定定理．
　　例3 求证：两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．
　　此题可由一名学生上台板演，其他学生自己画图在下面证，教师巡回检查，观察他们的证法，好的予以表扬，错误的指出来．
　　已知：，，，．如图2．
　　求证：．
　　证明：∵ ，．
　　∴
　　又，，
　　∴
　　．
　　例4 如图3，正方体中，点在上，点在上，且，求证：平面．
　　证明：作，分别交和于，连结．
　　由
　　与
　　又由已知，
　　可证得，
　　∴ 是平行四边形．
　　∴ ．
　　又平面，
　　平面，
　　∴ 平面，
　　评析：本题是将证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面中找一条直线与平行．从而证得平面．
　　［演练反馈］
　　1．若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（      ）
　　A．内所有直线与异面
　　B．内不存在与平行的直线
　　C．内存在惟一的直线与平行
　　D．内的所有直线与都相交
　　2．是两条异面直线，是不在上的点，则下列结论成立的是（      ）
　　A．过点有且只有一个平面与都平行
　　B．过点至少有一个平面与都平行
　　C．过点有无数个平面与都平行
　　D．过点且平行于的平面可能不存在
　　3．两条平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条与此平面的位置关系是（      ）
　　A．平行                     B．相交或平行
　　C．平行或在平面内           D．相交或平行或在平面内
　　4．已知直线平面，直线，则与必定（      ）
　　A．平行                     B．异面
　　C．相交                     D．无公共点
　　5．已知直线及平面，则下列条件中使成立的是（       ）
　　A．且             B．，
　　C．且              D．，且
　　6．三条直线两两异面，它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平行，则与所成的角的度数为_____________．
　　7．空间四边形中，，，与成角，分别是四边中点，则四边形的面积是_________．
　　8．如图4，正方体中，是的中点，求证：平面．
　　9．正方体中
　　（1）画出与平行且仅过正方体三个顶点的截面；
　　（2）画出过且和平行的截面．
　　10．已知平面外的两条平行线中的一条和这个平面平行，求证另一条直线也和这个平面平行．

参考答案
　　1．B 2．D 3．C 4．D 5．C 6． 7．
　　8．提示：连交于点，连．证明，面即可．
　　9．提示：如图5，（1）过顶点或顶点．（2）取中点连结、．
　　10．提示：如图6，过作平面交于直线，∵ 则，又是 ∴

∴ ．

　　［总结提炼］
　　在应用线面平行的判定与性质定理时，要注意认清条件，另外这两个定理在证题时往往需要在交替使用，但要注意这种交替不是循环，而是步步向前推进的．
布置作业:
　　1．课本P20习题9.3 6．
　　2．课本P20习题9.3 8．
　　3．求证：若一条直线与两相交平面平行，则此直线与它们的交线平行．
　　4．空间四边形中，分别为的中点，平面交于，求证：四边形为平行四边形．

参考答案
　　1．由，得，，于是．
　　2．由反证法证，假设与不相交，则或．，否则由且，得，与矛盾；，否则由得或，与已知矛盾，综上可知与相交．
　　3．证明：设，，，过作平面，使，由得，同理过作平面与相交于，．∴ ，从而，∴ ，∴ ．
　　4．证明：连，见图1．
　　由已知得，则平面．
　　又∵ 平面，平面平面．
　　∴ ，则，为的中点．
　　∵ ，．
　　∴
　　∴四边形为平行四边形．
板书设计: