第三节 直线与平面平行的判定和性质

数学证明与解

　　1．数学证明
　　数学证明是数学中根据某些命题的真实性，来推断另一个命题的真假的一种思维过程．通常推断命题为真，叫做证明为真，也称为证明；而推断命题为假，叫做证明为假，也称为反驳．
　　关于证明应注意两点：
　　（1）命题的“真假”总是相对于某个数学理论来说的，因为“真假”在数学中具有相对性．在整数集中，无倍数关系的两个数的除法就已无意义，即是“假”的；在实数范围内负数不能开偶次方；在初等数学看来，高等数学的一些命题是不真的．实际上，证明也总是在一定的数学理论体系内进行的．
　　（2）证明是一种逻辑推理过程，要求具有一定的逻辑性和严谨性，即数学推理的严格性，重要的是推理要有依据（公理和已证定理）和要严格遵守逻辑规则．注意，这些逻辑规则是假定先于数学而存在的．
　　数学证明所应遵守的一般逻辑规则是：
　　（1）可以在一个证明的任何地方引入一个前提（依据）．
　　（2）如果一个证明中有一些先引入的前提，这些前提的合取可以逻辑地推出一个命题，那么就可以在这一证明中引入这个命题 ．
　　（3）如果能从一个命题和一个前提集合推导出命题，那么就可以从这个前提集合本身推导出命题．
　　2．解释
　　对于一个理论系统，若有一组具体事物，其性质是已知的，在规定 中每一基本概念指 中某一具体事物后，可验证的每个公理在 中都成立，则称为理论系统的一个解释，或一个模型、一种应用．
　　解释的方法在数学中也是很常用的．例如中学立体几何课程的若干直观教具（正方体等模型），就是中学几何中提供的三维欧氏空间理论的一个解释．在证明一个公理系统自身所必须满足的某些性质如无矛盾性、独立性和完全性等方面时，解释的方法是惟一有效的．现代数学的形式系统中，所处理的只是各种符号和符号序列及其变形，它们的数学意义是靠解释来给定的．

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