第八节 棱锥
典型例题(例1~例3)
例1 正六棱锥的底面周长为24,侧面与底面所成角为 ,求:(1)棱锥的高;(2)斜高;(3)侧棱长;(4)侧棱与底面所成角.
分析:本题涉及了正棱锥的若干基本量,可以把基本量放置到直角三角形中,由已知量求未知量.
解:正六棱锥的底面周长为24.
∴正六棱锥的底面边长为4.
在正棱锥 中,
取 中点 ,连 , ,
是正六边形 的中心.
连 ,则 底面
∴ .
∴ 是侧面与底面所成二面角的平面角,即 .
(1)在 △ 中, , ,
∴ .
(2)同样在△ 中,斜高 ,
(3) △ 中, , .
∴ .
(4)∵ 底面 ,∴ 是侧棱与底面所成角,
同样在△ 中, ,∴ ,
说明:在立体几何中,要善于把长度和角度放到三角形中去解决,正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中,本题中的方法也可用于其它正棱锥中.比如:已知正四棱锥底面边长为 ,相邻两侧面所成二面角为 ,求正棱锥的高、斜高、侧棱长.正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形,利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角,先计算侧棱长为 ,然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中,计算出高为 ,斜高为 .
例2 如图所示,正四棱锥 棱长均为13, , 分别是 , 上的点,且 .
(1)求证:直线 平面 ;
(2)求直线 与底面 所成角的正弦.
分析:(1)要证明 平面 ,只需证明 与平面 内某一条直线平行.为此连 并延长交 于 ,连 .可考虑证明 .(2)若能证明 ,则 即为直线 与底面所成的角.
解:(1)连 并延长交 于 ,再连 .
∵ ,∴ ,
又 ,
∴ ,
∴ ,
又 平面 , 平面 ,∴ 平面 .
(2)设 为底面中心,连 , ,则 平面 .又 ,则 为直线 与平面 所成的角.
由 及 ,得 ,在△ 中, , , ,由余弦定理,得 .在 △ 中, , ,则 .
说明:本题(2)若直接求 与平面 所成的角,计算就比较复杂,而平移为求 与底面所成的角,计算就易得多.可见,平移是求线线、线面所成角的重要方法.
例3 斜三棱柱 的底面△ 是直角三角形, ,侧棱与底面成 角,点 在底面的射影 为 的中点, .
(1)求证 ;
(2)若 为 的二面角,求四棱锥 的体积.
分析:证 关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面;而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高.这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得.
解:如图所示,
(1)∵ 平面 , 底面 ,
∴ .
∵ ,
∴ 平面 ,∴ .
∵ 在底面 上的射影 为 的中点,侧棱与底面成 角,
∴四边形 是菱形,∴ ,
∴ 平面 ,∴ .
(2)过 作 ,连结 .
∵ 平面 ,
∴ 是 在平面 上的射影,
∴ ,
∴ 是二面角 的平面角,
∴ .
在 △ 中, ,在 △ 中,由 可得 .
∴ ,
∴
.
∴ (体积单位).
说明:证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一,而证线面垂直时又涉及线与线的垂直,因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终.当遇到一线垂直于一截面,而截面面积又能计算时,将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法.结果便转化成截面与此线相乘的关系,因而使问题得到简化.
典型例题(例4~例6)
例4 如图,在三棱锥 中, 底面 , , 、 分别是 和 的中点, 为 上一点,且 , .
(1)求证: 平面 ;
(2)求截面 分棱锥 所成两部分的体积之比.
分析:由 底面 ,可以判定平面 平面 ,且相交于 ,因为 是 的中点,且 ,所以 ,于是有 平面 , .
若证 平面 ,只需 与平面 中的另一条直线垂直就可以了.为此,就要从已知的数量关系着手,找到新的线与线的垂直关系.
平面 把三棱锥 分成两部分,显然这两部分具有相同的高线 .所以,只要找到△ 和四边形 的面积之比,就可以确定两部分的体积之比了.
证明:(1)∵ 平面 ,且 平面
∴平面 平面 ,且相交于
在△ 中,∵ , 是 边上的中线
∴ .∴ 平面
∵ 平面 ,∴
利用两个平面垂直的性质定理可以证明 平面
在 △ 和△ 中
设 ,则 , , ,
∵ ,
∵ ,∴△ ~△
∵ ,∴
∴ .∵
利用相似三角形的性质,得到
∴
∵ ,∴ 平面 .
解:(2)∵
∵ ,
∴
∴
∴
∴截面 分棱锥 为两部分,三棱锥 与四棱锥 的体积之比为1:2.
例5 四棱锥 ,侧面 是边长为2的正三角形且与底面垂直,底面 是面积为 的菱形, 为菱形的锐角.(1)求证: ;(2)求二面角 的大小;(3)求棱锥 的侧面积与体积.
分析:取 中点 ,侧面 底面 ,从而 可利用三垂线定理转化为证明 ,线面垂直也为二面角 平面角的落实创造了有利条件,棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的特殊性来解决.
证明:(1)取 中点 ,连 、 ,
∵△ 是等边三角形,∴ ,
∵面 底面 ,∴ 底面 ,
∵等边△ 的边长为2,∴
∴菱形 的边长为2,又菱形的面积是 ,
∴ ,∴ ,又 是锐角,
∴ ,∴△ 是等边三角形,
∴ , 在平面 上射影为 ,∴ .
解:(2)∵ ,由(1) , ,
∴ , .
∴ 是二面角 的平面角,
在 △ 中 ,
∴ ,即二面角 的大小为 .
(3)由(2)在 △ 中,可得 ,
在 △ 中, , ,
∴ , ,
在△ 中, , ,可得 ,
在△ 中, , ,可得 ,
又正△ 边长为2,∴ ,
∴ ,
∵ ,∴ .
说明:抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键,非特殊棱柱、棱锥的侧面积,往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到,这就需要分析每个侧面的具体特点,比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等.可以举一个类似的例子,四棱锥 的高为1,底面为菱形,侧面 和侧面 所成角为 ,且都垂直于底面,另两侧面与底面都成 角,求棱锥的全面积.这里由相交平面 与 都与底面垂直得到 垂直于底面,利用 底面 ,一方面落实了棱锥的高为 ,另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实,四个侧面中,有两个是等腰三角形,有两个是直角三角形,通过计算可得,全面积为 .
例6 已知三棱锥 中, 、 、 与底面 所成角相等, , , 为 中点, 点在 上且 截面 ,(1)求 与底面 所成角;(2)求 到平面 的距离.
分析:由 、 、 与底面所成角相等可得 点在面 上射影为△ 的外心,由于△ 是直角三角形,可以得到 面 , 面 可转化为 , 是 中点,找出 到面 的垂线落实 与面 所成角. 到面 的距离可从两方面得到,一方面直接找 到面 的垂线,另一方面,用等积法可求点到面的距离.
解:(1)∵ 、 、 与底面 成相等的角,设 在面 上射影为 ,则有 ,
∴△ ≌△ ≌△ ,
∴ 且 ,
∴ 是△ 的外心.
∵△ 是直角三角形,且 是斜边 的中点,
∴ 点和 点重合,即 面 ,
∵ 截面 ,过 的平面 与平面 交于 ,
∴ ,∵ 是 中点,∴ 是 中点,
取 中点 ,则 ,∴ 平面 ,
∴ 为 与底面 所成角.
∵ ,∴ ,
∵ 且 ,∴ .
又 ,∴△ 也是等腰直角三角形,
∴ ,∴ ,
在 △ 中, ,
∴ ,即 与平面 所成角为 .
(2)方法一:∵ 平面 ,∴ .
又∵ ,∴ 平面 ,∴ .
由(1)△ 是直角三角形, ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ 平面 .
∵ ,∴ .
即 到平面 的距离为 .
方法二:∵ , ,∴ 平面 ,
∴ ,又 , .
∴ ,
∵ , ,
设 到面 的距离为 ,
∴ ,∴ .
,即 到平面 的距离为 .