第二节 排列

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点难点分析

　　重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式解决有关排列数的应用问题．难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题．突破重点、难点的关键是对分类计数原理和分步计数原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中．

　　（1）教材对两个实例分析的目的在于：

　　①给出排列概念的感性认识，为引进排列定义作准备．舍去具体内容，可以看出问题的共同特点是：若干个对象（元素），按一定的顺序排成一列．这正是排列概念的本质．

　　②分析了具体问题排列数的计算方法，为推导一般的排列数公式作准备．

　　③列出了排列的框图或树图，使学生初步看出，图形的直观性强，易于找出解题途径，具有启发作用．

　　④指出具体写出全部排列的方法，要求不重复、不遗漏．加深学生对排列概念的认识．

　　（2）排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．

　　从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同．

　　在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

　　在排列的定义中 ，如果 有的书上叫选排列，如果 ，此时叫全排列．

　　（3）要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念：一个排列是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体排法，它不是数；而排列数是指指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的种数，它是一个数。如：元素的所有排列的个数，它是一个数；又如从 中任取两个元素的排列可以有以下6种： 每一种都是一个排列，而6就是排列数。

　　（4）公式 是在引出全排列数公式 后，将排列数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

　　（5）排列应用问题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和带限制条件的排列问题。常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题。

　　解排列应用问题时应注意以下几点：

　　①认真审题，根据题意分析它属什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法；

　　②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置。考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考。

　　③恰当分类，合理分步。

　　（6）解排列应用题的基本思路：

　　①基本思路：

　　直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；

　　间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数。

　　②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空挡法，构造法等。

　　（7）关于排列的应用题，教材共有3个例题（例3、例4、例5）．

　　例3是一个最简单的没有限制条件的排列问题．教学时应注意通过问题的分析，使学生确认它是一个排列问题．这是因为问题的本质是“每一张车票对应着2个车站的一个排列”．对于简单问题，应分析如下三个问题：（l）问题的结果是否与顺序有关，也就是能否归纳为排列问题来解；（2）在问题中，n个元素指的是什么，m个元素指的是什么；（3）从n个元素每次取出m个元素的一个排列对应着的事件是什么．根据分析，作出正确的判断，然后直接运用排列数公式算出结果．

　　例4也是一个没有限制条件的排列问题，但比例3要复杂一点．讲解时，先指出由于表示信号时可以挂一面，两面或三面旗子，所以表示信号的方法能分为三类，接着分析每一类的方法数，然后根据加法原理解出本题．对于信号兵用旗子表示信号的方法，学生如果感到生疏的话，也可以举一个类似的例题来说明：“由1，2，3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的自然数？”

　　例5是一个有限制条件的排列问题，由于思路不同，可以有不同的解法．用不同的方法去解同一个问题，可以开拓思路，提高分析问题的能力．有时还能起到核对答数，避免差错的作用．

　　对于有限制条件的排列问题，大致有两种不同的计算方法：

　　（1）直接计算法：把符合限制条件的排列数直接计算出来；

　　（2）间接计算法：先不考虑限制条件，把所有排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数．

　　这两种方法都应要求学生领会、能运用．

　　例5的解法1与解法3都是直接计算法．解法1是对排列方法进行分步，采用乘法原理．这是基本的方法；解法3是对排列方法进行分类，采用加法原理．对解法1，教材上是分成两个步骤的，教学中也可以让学生考虑分成三个步骤的解法，即先排百位数字，再排十位数字，后排个位数字，得排列法的种数是 ，然后比较一下两种分步骤的方法，说明它们都是合理的，但是分为两个步骤比较简洁．对于解法3，教材上是分为三类的，它也可以分为两类，第一类是三位数中不含有数字0的，第二类是含有数字0的．在第一类中，有 个三位数，在第二类中无论十位数字是0或者个位数字是0，都有 个，所以有2 个三位数，由此得所求的三位数的个数是

　　例5的解法2是间接计算法．一般地说，一个排列问题可以用直接计算法计算，也可以用间接计算法计算，比较两者的繁简，可采用较简洁的方法即可．

　　在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

（二）教法建议

　　（1）建议从实际生活中的排列问题引入，例如排队问题、数字问题和彩票问题等，让学生先有一定的感性认识后，在引入排列的概念，进入理性认识阶段，这样既提高学生的学习兴趣，又提高教学效果。

　　（2）注意相近概念之间的区别和联系。这一节要注意向学生讲清排列和排列数这两个不同的概念。

　　（3）要注意与旧有的知识（两个原理）相联系，让学生明白，排列问题也可以用两个原理来解决，只不过有时可能复杂，让学生体会知识间的联系。

　　（4）要借助形象思维来证明抽象问题。排列数的公式推导要注意紧扣乘法原理，可以借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好 的推导。课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，…，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

　　导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

　　（5）讲解有关排列的应用问题时，教学时要注意选择例题要进行分类，题目难度要有层次。在例题讲解过程中，不断地总结排列应用题的类型和解题的基本思路，最后，教师和学生一块总结。

　　（6）在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

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