第六节 互斥事件有一个发生的概率

教学设计方案一

10．6互斥事件有一个发生的概率 第一课时

教学目标：理解互斥事件的概念，掌握互斥事件中有一个发生的概率的计算公式．

教具准备：投影胶片．

教学过程：

【设置情境】

　　1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，三个黄球，从中任取一个球．

　　求：（1）得到红球的概率；（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或者绿球的概率．

　　师问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系，可以同时发生吗？问题（3）中的事件“得到红球或者绿球”与问题（1）（2）中的事件有何联系，它们的概率间的关系如何？

【探索研究】

　　1．互斥事件的定义

　　我们把“从中摸出1个球，得到红球”叫做事件 ，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件 ，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件 ．

　　如果从盒中摸出1个球是红球，即事件 发生，那么事件 就不发生；如果从盒中摸出1个球是绿球，即事件 发生，那么事件 就不发生．就是说，事件 与 不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．

　　一般地，如果事件 中的任何两个都是互斥的，那么就说 彼此互斥．

　　从集合的角度看， 个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交．

　　2．互斥事件有一个发生的概率

　　设 、 是两个互斥事件，那么 表示这样一个事件：在同一试验中， 与 中有一个发生就表示它发生．那么事件 的概率是多少？

　　在上面的问题中“从盒中摸出1个球，得到红球或绿球”就表示事件 ．

　　由于从盘中摸出1个球有10种等可能的方法，而得到红球或绿球的方法有 种，所以得到红球或绿球的概率

　　另一方面

　　由 ，我们看到

　　这就是说，如果事件 互斥，那么事件 发生（即 中有一个发生）的概率，等于事件 分别发生的概率的和．

　　一般地，如果事件 ，彼此互斥，那么事件 发生（即 中有一个发生）的概率，等于这 个事件分别发生的概率的和，即

　　3．例题分析

　　例1  一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件 ，“命中的环数大于5”为事件 ,“命中的环数小于4”为事件 ，“命中的环数小于6”为事件 ．那么 中有多少对互斥事件？

　　（学生思考后再提问．答案：有四对，即 ）

　　例2  某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

　　（1）求年降水量在 （ ）范围内的概率；

　　（2）求年降水量在 （ ）范围内的概率；

　　解：记这个地区的年降水量在 、 、 、 （ ）范围内分别为事件 ．这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有

　　（1）年降水量在 （ ）范围内的概率是

　　（2）年降水理在 （ ）范围内的概率是

　　例3  一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名．从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男同学不超过2人的概率．

　　解：代表队里男同学不超过2人，即男同学可以有2人、1人、或没有．记代表队里有2名男同学为事件 ，有1名男同学为事件 ，没有男同学为事件 ，则 彼此互斥．所以代表队里男同学不超过2人的概率

【演练反馈】

1．把一枚硬币连续抛掷5次，求正面出现3次以上的概率．

　　（由一名学生板演后，教师讲解）

2．从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率．

　　（由一名学生板演，教师订正）

3．若 、 为互斥事件， 则

【参考答案】

　　1．解：连续抛掷5次的结果数为 ，出现4次正面的结果数为 ，出现5次正面的结果数为 ，所以出现正面3次以上的概率为

　　2．解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事件 ，“排成的三位数的个位数字是2”为事件 ，且 与B互斥，则“排成的三位数是偶数”为 ，于是

教师点评：从0，1，2，3这四个数中任取3个进行排列的结果数是 ．

　　3．0．3

【总结提炼】

　　不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求得它们的概率，然后计算．

布置作业：

　　1．课本P128习题10．6  3，4．

　　2． 、 、 、 、 五人分4本不同的书，每人至多分1本．求：

　　（1） 不要甲书， 不要乙书的概率？

　　（2）甲书不分给 、 ，乙书不分给 的概率？

【参考答案】

　　1．略．  2．（1） （2）

板书设计

教学设计方案二

10．6互斥事件有一个发生的概率 第二课时

教学目标：

　　理解对立事件的概念，理解对立事件的概率关系公式 ，会利用对立事件的概率间关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．

教具准备：投影胶片．

教学过程：

【设置情境】

　　问题1  什么叫做互斥事件？

　　问题2  怎样计算 个互斥事件中有一个发生的概率？

看下面的问题：

　　在一个盒内放有10个大小相同的小球，其中有6个红球，4个白球．记“从盒中摸出1个球，得到红球”为事件 ；“从盒中摸出1个球，得到白球”为事件 ．

　　（1）事件 与 互斥吗？

　　（2）事件 与 不可同时发生，那么它们可同时不发生吗？

　　（3）这样的事件 与 的概率关系如何呢？

【探索研究】

　　1．对立事件的概念

　　对于上述问题中的事件 与 ，由于它们不可能同时发生，所以它们是互斥事件；又由于摸出的1个球要么是红球，要么是白球，所以事件 与 必有一个发生．这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件．事件 的对立事件通常记作习．

　　在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件．也就是说，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．

　　从集合的角度看，由事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 所含的结果组成的集合的补集．（如图10－11）

　　2．对立事件的概率间关系

　　根据对立事件的意义 ，是一个必然事件，它的概率等于1．又由于 与 互斥，于是

　　这就是说，对立事件的概率和等于1．

　　由上面的公式还可以得到

　　这个公式很有用，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，使概率的计算得到简化．

　　3．例题分析

　　例1  从1，2，3，4，…，9这九个数中任取两个数，分别有下列两个事件：

　　（1）恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；

　　（2）至少有一个是奇数和两个都是奇数；

　　（3）至少有一个是奇数和两个都是偶数；

　　（4）至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

　　其中哪一组的两个事件是对立事件？

　　答案：③

　　教师应说明判断方法；判断两个事件是否为对立事件，应先判断是否为互斥事件，即是否同时发生；再判断是否必有一个发生．

　　例2  在50件产品中，有35件一级品，15件二级品．从中任取5件，设“取得的产品都是一级品”为事件A，试问： 表示什么事件？

　　答：事件 表示“取得的产品不都是一级品”或“取得的产品中至少有1件不是一级品”．首先，“取得的产品都是一级品”发生了，“取得的产品不都是一级品”这个事件就不发生，它们是互斥的；其次，“取得的产品都是一级品”和“取得的产品不都是一级品”必然有一个发生．所以“取得的产品不都是一级品”这一事件表示 。

　　例3  在20件产品中，有15件一级品，5件二级品．从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？

　　解法1：记从20件产品中任取5件，其中恰有“1件二级品”为事件 ，恰有“2件二级品”为事件 ，“3件全是二级品”为事件 ，这样有

　　由于 彼此互斥，所以3件产品中至少有1件是二级品的概率是

　　解法2：记从对件产品中任取3件，“3件全是一级品’为事件 ，则

　　由于“任取3件，至少有1件为二级品”是事件 的对立事件 ．根据对立事件的概率加法公式，得到

　　教师点评：利用对立事件的概率和公式可简化概率的计算．

【演统反馈】

　　1．若 ，则事件 与 的关系是（    ）

　　A． 、 是互斥事件   B． 、 是对立事件

　　C． 、 不是互斥事件  D．以上都不对

　　2．如图10－12，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，求不命中靶的概率为____________．

　　3．学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人现从中选3人，至少要有一人既会唱歌又会跳舞的概率是 ，求该队的人数．

　　（由一名学生板演后，教师讲评）

【参考答案】

　　1．D；    2．0.01

　　3．解：设该队既会唱歌又会跳舞的有 人，从而只会唱歌或只会跳舞的只有 人．记“至少有一人既会唱歌又会跳舞”为事件 ，则事件Z为“只会唱歌或只会跳舞”，由于

　　

　　从而 即该队只有9人．

教师点评：解题过程中出现了三次方程．由于X为正整数，可用试根的方法求出方程的根．

【总结提炼】

　　两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件叫做对立事件．所以对立事件是互斥事件中的一种情况，即两个事件互斥，它们不一定对立；而两个事件对立，它们一定互斥．在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而先求其对立事件的概率，利用对立事件的概率可使概率的计算得到简化．

布置作业：

　　1．课本P128习题10．6   5，6．

　　2．一个袋内装有3个红球和 个白球，从中任取3个．已知取出3个球中至少有三个白球的概率是 ，求 的值．

【参考答案】

　　1．略．  2．

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