第六节 互斥事件有一个发生的概率

典型例题

　　例1  今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．

　　分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件 ，可以看出 两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件 ，事件 发生相当于 有一个发生，所以用公式 可以计算 .

　　解：设至少有两封信配对为事件 ，恰好有两封信配对为事件 ，恰有3封信配对为事件 ，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件 ，则事件 等于事件 ，且 事件为两两互斥事件，所以 ．

　　5封信放入5个不同信封的所有放法种数为 ，

　　其中正好有2封信配对的不同结果总数为

　　正好有3封信配对的不同结果总数为

　　正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1，

　　而且出现各种结果的可能性相同，

　　

　　说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为 ，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．

　　例2  袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：

　　　（1） 3只全是红球的概率，（2） 3只颜色全相同的概率，

　　　（3） 3只颜色不全相同的概率，（4） 3只颜色全不相同的概率．

　　分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为 ，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．3只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为 ，用等可能事件的概率公式求解．

　　解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为：

　　3只全是红球的概率为

　　3只颜色全相同的概率为

　　“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”．

　　故“3只颜色不全相同”的概率为

　　“3只颜色全不相同”的概率为

　　说明：如果3种小球的数目不是各1个，而是红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽3次的所有不同结果总数为 ，全是红球的结果总数为 ，所以全是红球的概率为 ，同样全是黄球的概率为 ，全是白球的概率也是 ，所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和， ，“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为 “3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为 （种），所以“3只小球颜色全不相同”的概率为

　　例3  有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？

　　分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球．

　　解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为

　　　　“从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为

　　　　“从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为

　　　　“从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为

　　所以取出两个同色球的概率为：

　　说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出．取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为 （种），对立事件的概率为 ，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：

　　例4  在 9个国家乒乓球队中有 3个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛．求：

　　（1）三个组各有一支亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队在同～组的概率．

　　分析：9个队平均分成三组的所有不同的分法总数为 ，其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为 ，用等可能事件的概率公式可求其概率．至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类：恰好有两支亚洲国家队在同一组；三支亚洲国家队在同一组．分别计算它们的概率然后相加．此外，我们也可以先计算其对立事件的概率，而其对立事件为“3支亚洲国家队不在同一组”，实际上两小题的事件互为对立事件．

　　解：（1）所有的分组结果是等可能的，9支队平均分成3组的不同分法数为：

（种）．

　　其中三个组各有一支亚洲队，可以看成其它6支队中任取2支队与第1个亚洲队合为一组，剩下4支队任取2支与第2个亚洲队一组，最后2支队与第2、3支亚洲队一组，所有不同的分法数为 （种）。

　　所以“三个组各有一支亚洲队的概率为

　　（2）方法1：“至少有两支亚洲队在同一组”分为两类：

　　“恰好两支亚洲国家队在一组”，概率为

　　“三支亚洲国家队在同一组”的概率为

　　方法2：“至少有两支亚洲在同一组”的对立事件为“三个组各有一支亚洲队”。

　　由（1）可得，“至少有两支亚洲队在同一组”的概率为：