第三节 组合

　　例1　在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4。6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．

　　分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。

　　解：第一类：五位数中不含数字零。

　　第一步：选出5个数字，共有 种选法．

　　第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有 种排法．

　　∴ （个）

　　第二类：五位数中含有数字零．

　　第一步：选出5个数字，共有 种选法。

　　第二步：排顺序又可分为两小类；

　　（1）末位排零，有 种排列方法；

　　（2）末位不排零．这时本位数有 种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有 种排法，其余3个数字则有 种排法．

　　∴    

　　∴ 符合条件的偶数个数为

　　

  　　 （个）                         

　　说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成．

　　例2 有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？

　　分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}

先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。

　　第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在 中选3人，即有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有 种选法，在C中选1人，有 种选法，划右舷的在 中剩下的8个人中选3人，有 种选法。因是分步问题，所以有 种选法。类似地，第③类，有 种选法。第④类有 种选法。

　　因为是分类，所以一共有 种选法。

　　解：

　　　　

　　　　 种

　　答：一共有2174种不同选法．

　　说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解答．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏．

　　这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算．

　　例3 甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类．

　　分析与解：若甲队取胜，比赛结果，可能是 ， ， ， ， ， ， ．    

　　 只有一个过程；

　　 共8场，乙队在前7场中胜一场，有 种不同的过程；

　　 共9场，乙队在前8场中胜二场，有 种不同的过程；

　　 共10场，乙队在前9场中胜三场，有 种不同的过程；

　　………………

　　∴ 甲队取胜的过程种数是：

　　类似乙队取胜也有同样的过程种数

　　∴ 共有 种不同的比赛过程．

　　小结：一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同（在元素相同时）；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题．本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题．

例4 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：

　　（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？

　　（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？

　　（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？

　　（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？

　　分析与解：（l）分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有 种情况，所以符合题意的七位数有 个．

　　（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 个．

　　（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在～起的有

    个．

　　（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 个．

　　说明；对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用．

例5  6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

　　（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；

　　（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；

　　（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；

　　（4）平均分给甲、乙、丙三人；

　　（5）平均分成三堆．

　　分析与解：（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有 种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有 种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有 种取法，故共有分法 种．

　　（2）由（1）知．分成三堆的方法有 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为 种．

　　（3）由（1）知，分成三堆的方法有 种，但每一种分组方法又有 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有 （种）．

　　（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有 种方法．

　　（5）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应 种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．

　　所以 ，则 （种）

　　说明：本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中

　　（1）属非均匀分组问题．     （2）属非均匀定向分配问题．

　　（3）属非均匀不定向分配问题．（4）属均匀不定向分配问题．

　　（5）属均匀分组问题．

例6  有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．

　　（1）如果每人得两本，有多少种不同的分法；

　　（2）如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得3本有多少种不同的分法；

　　（3）如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法．

　　分析与解：（1）假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有 种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有 种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有 种方法，由乘法原理得一共有 种不同分法．

　　（2）先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本则有 种法，一共有 种不同的分法．

　　（3）把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关．

　　所以一共有 种不同分法．

　　说明：本题的三个问题要注意区别和联系，不要混淆．

　　6本书分给甲、乙、丙三人每人两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以 ．一般地， 个元素中有 个元素（ ）均分成m堆一定要除以 ．

　　例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法．

　　一共有 种不同分法．