第三节 组合

构造组合模型，利用组合数定义证明组合恒等式

　　证明组合恒等式，一般是利用组合数公式，组合数的性质，数学归纳法，二项式定理等，通过适当的计算或化简来完成．但是很多恒等式，也可以直接利用组合数的定义来证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等即可证出要证明的组合恒等式．如，组合数的两个性质① ，② 在课本中给出了利用组合数定义的解释证明．

　　【例如】证明

　　证明  原式左端可看成一个班有 个人，从中选出 个人打扫卫生，在选出的 个人中， 人打扫教室，余下的 人打扫环境卫生的选法数．原式右瑞可看成直接在 人中选出 人打扫教室，在余下的 人中再选出 人打扫环境卫生．显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的．

　　点评  以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析．若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，很多情况下是两者结合使用的．

环状排列

　　设有 个不同的元素，每次从中取出 个依次排列环状，问可排出多少不同的环？

　　一个或两个元素排成或环是一样的．现来研究 的情形．设有元素 ，不同的环状列共有2个（如图），而其中每一个可“拆”成三个线环列；反之，这三个线排列每个首尾相接所成的环状列都是同一个，其三元环状列共有两个： ．

同样地，每个 元环状排列通过“向后移动元素”的方法生成 个线状排列 ： ．所以，环状排列数正是同样的线状排列数的 ，即以 表示从 个不同元素中每次取出 个的环状排列数，则

　　特别地， 个元素的全环状排列数为

　　但是，在不计顺从逆时针方向时， 元集的 元环状排列数为 ．

　　例1  从10盒花中取出5盒，放置在一个圆形展览台的周围，问有多少种排法？

　　（答案：共有 种．）

 　　例2  8人围坐圆桌开会，其中正、副组长及记录员要相邻而坐，有多少种坐法？

　　（答案：共有 种．）