第八节 伯努利方程

关于伯努利方程的教学设计

一、教学目标

　　1、知道什么是理想流体，知道什么是流体的定常流动。

　　2、知道伯努利方程，知道它是怎样推导出来的，会用它解释一些现象。

　　3、通过在流体力学中应用功和能的关系推导伯努利方程，培养学生使用能量守恒思想

的意识和思路。

　　4、通过对实例的定性分析，培养学生对实际问题的建立模型和分析推力能力，学以致用。并在使用中体会物理规律在实际生活中的意义。

二、教学建议

　　1、教材分析：本节内容从建立流体的理想模型——理想流体开始，简单介绍了流体的特点及流体的定常流动方式。重点依据功能关系推导了理想流体作定常流动时，流体中压强和流速的规律——伯努利方程。并使用伯努利方程对大量生活实例进行了定性分析。

　　2、教法建议：本节主要是初步介绍了流体动力学的点滴知识，且作为选学内容，主要是开阔视野，培养知识、方法迁移能力，为学有余力的同学自我加深准备的。所以在教学中要以基本概念建立、基本思路迁移、基本分析方法使用为重点，不要在知识深度上过于下功夫。建议在学生有引导的自学的基础之上，讨论归纳，以便突出上述重点，遗留问题，供有兴趣的学生进一步学习。

三、教学设计示例

教学重点：如何利用功能关系推导伯努利方程；如何利用该方程解释实际问题。

教学难点：如何利用功能关系推导伯努利方程；如何利用该方程解释实际问题。

示例：

（一）课前预习提纲

　　1、流体主要有哪些特点？什么是理想流体？

　　2、什么是定常流动？什么是流线？如何用流线形象的表示流体的流动？

　　3、仔细阅读书P₁₅₂伯努利方程的推导过程，并思考下列问题：（1）伯努利方程表述的是什么规律? (2)对于推导过程中所选取的研究对象，是谁对它作了功，为什么？研究对象的机械能如何变化了，为什么？能否口述之。（3）你认为推导过程中最重要的是什么？难点是什么？

　　4、自己做书P₁₅₁的小实验，认真阅读书P₁₅₄的应用举例，归纳思路，并试做书P₁₅₅的练习七。

（二）课上

　　带领学生通过讨论预习提纲建立概念、思路，解决疑难。要让学生充分发言。

　　预习题简答：（仅供参考）

　　1、答：实际流体具有可压缩性和粘滞性。但因一般液体的可压缩量很小，可以不予考虑；而气体的压缩性虽然较强，但若流动的气体中各处的密度不随时间发生明显的变化时，也可以不考虑其压缩性。另外，在某些问题中，若流体的流动形式主要的，而粘滞性是次要的，则可认为该流体没有粘滞性。不可压缩的、没有粘滞性的流体就是理想流体。理想流体实际上是一个理想的物理模型。

　　2、答：流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动方式称为定常流动，也可称为稳定流动。这也是一种理想化的流动方式。

　　在定常流动的流体中，假象沿着各液体质点的运动轨迹画出许多曲线，这些线就叫做流线。流线在某一点的切线方向表示该点的流速方向，流线的疏密表示流速的大小，即流线越密，表示流速越大。

　　3、答：（1）伯努利方程表述的是理想流体作定常流动时，流体中压强和流速的规律。

　　其规律为： 常量。

　　（2）因为理想流体没有粘滞性，不能被压缩，所以b₁a₂位置流体的机械能没有变化，整个流体的机械能变化可等效为a₁b₁位置流体迁移到a₂b₂位置的过程中机械能的变化。依据功能关系，这样的机械能变化等于研究对象在a₁和a₂两个截面上所受外力做功之和。

　　（3）略。

　　4、  略。

参考答案：略。

关于伯努利方程的知识讲解

　　把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间(图8－29)，向漏斗口吹气，会把乒乓球吹跑吗？实际正好相反，乒乓球会贴在漏斗上不掉下来．平行地竖放两张纸，向它们中间吹气，会把两张纸吹开吗？实际正好相反，两张纸会贴近(图8－30)．

　　怎样解释上述现象呢？现象中涉及空气的流动．你可能不会想到，解释上述现象，跟说明飞机能够上天，用的是同一个道理，这就是流动的流体中压强和流速的关系．通常把液体和气体统称流体。

　　这一节把功能关系应用到流动的流体中，推导压强和流速的关系．研究流体的流动，是一门复杂的学问．初步进行研究，需要作一些限定，采用简单的物理模型，这就是理想流体的定常流动．

　　理想流体  液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．气体容易被压缩，但在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的．

　　流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，也就是说，流体具有粘滞性．不同的流体，粘滞性不同．油类的粘滞性较大，水、酒精的粘滞性较小，气体的粘滞性更小．研究粘滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有粘滞性．

　　不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体．

　　定常流动  观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化．河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变．河水的这种流动就是定常流动．流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动．自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．

　　流体的流动可以用流线形象地表示．在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹．图8－31是液体流过圆柱体时流线的分布．AB处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小，液体在CD处流得急，流速大．AB处的流线疏，CD处的流线密．这样，从流线的分布可以知道流速的大小．流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．

　　伯努利方程  现在研究理想流体做定常流动时，流体中压强和流速的关系．

　　图8－32表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a₁处和a2处用横截面截出一段流体，即a₁处和a₂处之间的流体，作为研究对象．

　　a₁处的横截面积为S₁，流速为v₁，高度为h₁．a₁处左边的流体对研究对象的压强为p₁，方向垂直于S₁向右．

　　a₂处的横截面积为S₂，流速为v₂，高度为h₂．a₂处右边的流体对研究对象的压强为p₂，方向垂直于S₂向左．

　　经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S₁由a₁移到b₁，右端S₂由a₂移到b₂．两端移动的距离分别为Δl₁和Δl₂．左端流入的流体体积为ΔV₁=S₁Δl₁，右端流出的流体体积为ΔV₂=S₂Δl₂，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV₁=ΔV₂，记为ΔV．

　　现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功．作用在左端的力F₁=p₁S₁，所做的功W₁=F₁Δl₁=p₁S₁Δl₁=p₁ΔV．作用在右端的力F₂=p₂S₂，所做的功

　　W₂=-F₂Δl₂=-p₂S₂Δl₂=-p₂ΔV．外力所做的总功

W=W₁＋W₂=(p₁-p₂)ΔV．　　(1)

　　外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a₁到a₂这段流体的机械能E₁，末状态的机械能是b₁到b₂这段流体的机械能E₂．由b₁到a₂这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变．这样，机械能的改变E₂-E₁就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．

　　

　　

　　力势能为mgh₂=ρgh₂ΔV．机械能的改变为

　　

　　右边对这段液体的的作用力向左，而这段液体的位移向右，所以功是负值。

　　理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变E₂-E₁，即

　　W=E₂-E₁                                                                         (3)

　　将(1)式和(2)式代入(3)式，得

　　

　　整理后得

　　

　　a₁和a₂是在流体中任意取的，所以上式可表达为：对管中流体的任意处，

　　

　　(4)式和(5)式称为伯努利方程．

　　流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时(如气体的流动)，伯努利方程可表达为

　　

　　从(6)式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方压强p小，流速v小的地方压强p大．知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了．经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不掉下来．向两张纸中间吹气时，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸会贴近．同样的道理，两艘并排的船同向行驶时(图8－33)，如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险．历史上就曾经发生过这类事故．在航海中，对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离．

　　应用举例  飞机为什么能够飞上天？因为机翼受到向上的升力．图8－34甲表示飞机飞行时机翼周围空气的流线分布．机翼横截面的形状上下不对称，机翼上方的流线密，流速大，下方的流线疏，流速小．由伯努利方程可知，机翼上方的压强小，下方的压强大．这样就产生了作用在机翼上的向上的升力．

根据运动的相对性，可以认为船静止，水流动．

　　喷雾器(图8－35)是利用流速大、压强小的原理制成的．让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上方的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来，从细管的上口流出后，受气流的冲击，被喷成雾状．

汽化器俗称化油器

　　汽油发动机的汽化器，与喷雾器的原理相同．汽化器是向气缸里供给燃料与空气的混合物的装置，构造原理如图8－36所示．当气缸里的活塞做吸气冲程时，南气被吸入管内，在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物，进入气缸．

　　球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力．旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的．图8－37甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线．球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差．现在考虑球的旋转，转动轴通过球心且垂直于纸面，球逆时针旋转．球旋转时会带动周围的空气跟着它一起旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，周围空气的流线如图 8－37乙所示．球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大．跟不转球相比，图8－37乙所示的旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲．

　　图8－38表示乒乓球的上旋球，转动轴垂直于球飞行的方向且与台面平行，球向图示方向旋转．图8－37乙表示的就是上旋球周围空气的流线．在相同的条件下，上旋球比不转球的飞行弧线要低．下旋球正好相反，球向图示反方向旋转，受到向上的力，比不转球的飞行弧线要高．

　　物理和体育相通，各项体育运动中都要用到物理知识．