2013年全国高中数学联赛山东赛区预赛

参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）

1．函数
值域是
．

【解析】令
，则
．

2．已知复数
满足
，则
的最大值是
．

【解析】令
，由
得：
，

故
，

当且仅当
即
时取等号，因此
的最大值是3．

【法二】
，

当且仅当
时取等号，故
的最大值是3．

3．如图，在⊿ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点
，
，则
的值是
．

【解析】
，

由M、O、N三点共线得：
，∴
．

【法二】直线MON是⊿ABC的割线，由梅涅劳斯定理得：

，即
，∴
．

4．如果关于
的不等式
的解集是R，则实数
的取值范围是
．

【解析】令
时，有
即
；

令
时，有
即
，故
；

当
时，
，故
总成立，

因此实数
的取值范围是
．

5．已知正数
满足
，则
的最小值是
．

【解析】由已知得：
，故
，

当且仅当
时取等号，因此
的最小值是6．

6．已知对
，
恒成立，则实数
的取值范围是
．

【解析】当
时，有
，由于函数
无上界，故不可能恒成立，

当
时，有
，若
恒成立，则
，∴
，

综上，实数
的取值范围是
．

7．已知
，

，则符合上述条件的
共有
组．

【解析】如右图，集合
可分为7个互不相交的区域，

分别记为
．

已知
，元素
属于
、
中的某一个区域，共有4种可能，

元素
属于
、
、
、
、
中的某一个区域，各有5种可能，共有25种可能，

因此符合条件的
共有100组．

8．已知函数
，对
，有
，

则

．

【解析】由已知得：
，

，

．

9．用五种不同颜色给三棱台
六个顶点涂色，

要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，

则不同的涂色方法有
种．

【解析】当六个顶点使用三种颜色涂满时，

A、B、C三点的涂色方法共有
种，

这时，点D、E、F只有两种涂色方法，

故共有
种涂色方法；

当六个顶点使用四种颜色涂满时，A、B、C、D三点的涂色方法共有
种，

这时，点E、F只有三种涂色方法，故共有
种涂色方法；

当六个顶点使用五种颜色涂色涂完时，先用五种颜色涂不同的五点的涂色方法有
种，

这时，余下的那一点只有两种涂色方法，共有
种涂色方法；

综上知，满足题意的所有不同的涂色方法共有1920种．

10．假设实数
满足
，且
的图像上存在两条切线垂直，则实数
的取值范围是
．

【解析】由已知得：
，

，其中
，

若
的图像上存在两条切线垂直，

则存在实数
使得：
，（*）

即
，

从而
，∴
，

又
，∴
，

故
，

于是（*）式化为
，解得
，因此实数
的取值范围是
．

二、解答题（本大题共4个小题，前两个小题各15分，后两个小题各20分，共70分）

11．（本小题满分15分）如图所示，

在长方体
中，

已知
，

若对角线
上存在一点P使得
，

求实数
的取值范围．

【解析】以点D为原点，分别以

为
轴的正向，建立空间直角坐标系．

则
，设
，

则
，

∴
，

由
，解得：
，因此实数
的取值范围是
．

12．（本小题满分15分）已知椭圆
的

内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点
，

求该平行四边形面积的最大值．

【解析】由已知得：
，如图所示，

由于四边形ABCD是椭圆的内接四边形，

所以原点O是其对称中心，且

，

当直线AD的斜率存在时，设其方程为
，

代入椭圆方程，整理得：
，

由韦达定理得：
，

∴
，

∴
，

当直线AD的斜率不存在时，易得：
，∴
，

综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6．

【法二】求出
，再求出AD与BC间的距离
，亦可解出．

13．（本小题满分20分）已知数列
的前
项和
满足
．

⑴ 试求数列
的通项公式；

⑵ 设
，求证：列
的前
项和
．

【解析】⑴ ∵
，∴
，作差得：
，

又当
时，
，故
．

⑵ 由已知得：当
时，
，结论成立，

当
时，

，结论也成立，

综上知，对
，
都成立．

14．（本小题满分20分）已知
均为正整数，且
，
是一素数，
的
进制表示分别为
，其中
，用
表示不超过
的最大整数，用
表示集合A中元素的个数，证明：

⑴ 若
，且对整数
有
，

则
；

⑵


，



．

【证明】⑴ ∵
，∴
，

∴
，

∴
．

⑵ 不会做．