第八章 圆锥曲线的方程脑图

一、第一定义

【利用第一定义求轨迹】

例1．（Ⅰ）若
的两个顶点坐标为
，
，
的周长为
，则顶点
的轨迹方程为 ．

（Ⅱ）设点Q是圆C：
上一动点，点
是圆内一点，
的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程．

（Ⅲ）动圆
过定点
，且与圆
：
相切，求动圆圆心
的轨迹方程．

（Ⅳ）已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，点
为右支上一点，过
作
的角平分线的垂线，垂足为
，求点
的轨迹．

（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．

【焦点三角形问题】

例2．（Ⅰ）已知
是椭圆
上一点，
分别是椭圆的左、右焦点，且
，则
的面积是 ．

（Ⅱ）双曲线
的左、右焦点分别是
，点
在双曲线上，且直线
、
倾斜角之差为
，则
的面积为 ．

（Ⅲ）在椭圆
上求一点
，使它与两焦点
的连线互相垂直．

（Ⅳ）
是椭圆
的两个焦点，点
为其上一动点，当
为钝角时，点
的横坐标的取值范围是 ．

（Ⅴ）设
是双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上，当
的面积为1时，

的值是 ．

【利用第一定义求最值】

例3．（Ⅰ）已知
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上一动点，
为一定点，求
的最值．

（Ⅱ）若
为双曲线
的右支上一动点，
为双曲线右焦点，已知
，求
的最小值．

二、第二定义

【利用第二定义求轨迹】

例4．（Ⅰ）已知动点
满足
，则点M的轨迹是

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条相交直线

（Ⅱ）已知圆
：
与定直线
：
，动圆
和圆
外切且与直线
相切，求动圆的圆心
的轨迹方程．

（Ⅲ）已知圆的方程为
，动抛物线过点
、
，且以圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．

（Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．

【利用第二定义求最值】

例5．（Ⅰ）已知
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上一动点，
为一定点，求
的最小值．

（Ⅱ）若
为双曲线
的右支上一动点，
为双曲线右焦点，已知
，求（1）
的最小值．

（Ⅲ）若F为抛物线
的焦点，点M在抛物线上移动，
，求
的最小值．

（Ⅳ）已知点P是抛物线
= 2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是
，则
的最小值是

A．
B．4 C．
D．5

【焦半径公式】

例6．（Ⅰ）已知点
在椭圆
上，
为椭圆的左右焦点，求
的取值范围．

（Ⅱ）双曲线
的两个焦点分别为
，
为双曲线上的任意一点，求证：
、
、
成等比数列．

（Ⅲ）已知抛物线
的一条焦点弦被焦点分成为
、
的两部分，求证：
．

（Ⅳ）若双曲线
，在右支上有一点
，且
到左焦点
与到右焦点
的距离之比为
：
，求
点的横坐标．

（Ⅴ）在双曲线
的一支上有不同的三点
、
，
与焦点
的距离成等差数列，求
．

三、标准方程

【待定系数法求圆锥曲线方程】

例7．（Ⅰ）已知椭圆焦点在
轴上，焦距等于4，并且经过点
，求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）已知椭圆经过两点
，
，求椭圆的标准方程．

（Ⅲ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点
，求椭圆的标准方程．

（Ⅳ）双曲线
的一条准线是
，则
的值为 ．

（Ⅴ）已知双曲线的右准线为
，右焦点为
，离心率
，求双曲线方程．

（Ⅵ）求与双曲线
有共同的渐近线，且经过点
的双曲线方程．

（Ⅶ）求以椭圆
的焦点为焦点，以直线
为渐近线的双曲线的方程．

（Ⅷ）
为何值时，方程
表示①圆；②椭圆；③双曲线？

（Ⅸ）抛物线
的焦点坐标是 ．

（Ⅹ）已知抛物线的准线为
，求抛物线的标准方程．

（Ⅺ）已知抛物线的焦点在
轴上，且
到焦点的距离是
，求抛物线的标准方程．

（Ⅻ）已知抛物线焦点在
轴上且截直线
所得弦长为
，求抛物线的标准方程．

【利用椭圆的参数方程求最值】

例8．已知实数
、
满足
，①求
的取值范围；②求
的取值范围．

四、几何性质

【求离心率】

例9．（Ⅰ）已知
为椭圆
的焦点，
为椭圆上一点，
垂直于
轴，且
，求离心率．

（Ⅱ）椭圆
的左焦点为
，
，
是两个顶点，如果
到直线
的距离是
，求椭圆的离心率．

（Ⅲ）椭圆
的两焦点为
，以
为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为 ．

（Ⅳ）已知双曲线的两条渐近线方程是
，求此双曲线的离心率．

（Ⅴ）设双曲线
的右焦点为
，右准线
与两条渐近线交于
、
两点，如果
是直角三角形，则双曲线的离心率是 ．

（Ⅵ）已知
是椭圆的两个焦点，满足
的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．

（Ⅶ）已知双曲线
的右焦点为
，若过点
且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

五、直线与圆锥曲线的位置关系

【有一个公共点】

例10．（Ⅰ）已知椭圆
，在椭圆上求一点
，使
到直线
：
的距离最小并求出最小值．

（Ⅱ）求经过点
且与双曲线
仅有一个公共点的直线方程．

【有两个不同交点】——韦达定理

【弦长】例11．（Ⅰ）抛物线
截直线
所得弦长等于 ．

（Ⅱ）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线
与该椭圆相交于
和
，且
，
，求椭圆方程．

【弦中点】例12．（Ⅰ）已知椭圆
，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过
的直线
与椭圆相交，求
被截得的弦的中点轨迹方程；③过点
且被
点平分的弦所在直线的方程．

（Ⅱ）已知双曲线
，①过定点
作直线交双曲线于
点，使
点是
的中点，求此直线方程；②过定点
能否作直线
，使
与双曲线相交于两点
、
，且
是
的中点？若存在，求出
的方程；若不存在，说明理由．

【垂直】例13．（Ⅰ）若直线
：
与双曲线
交于
、
两点,且以
为直径的圆过原点，求
的值.

（Ⅱ）已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，椭圆
上的点到焦点距离的最大值为
，最小值为
．

①求椭圆
的标准方程；

②若直线
与椭圆
相交于
，
两点（
、
不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

【对称】例14．（Ⅰ）已知椭圆
的方程为
，试确定
的取值范围，使得对于直线
，椭圆
上有不同的两个点关于该直线对称．

（Ⅱ）已知抛物线
上总存在关于直线
对称的两点，则实数
的取值范围是 ．

【数量积】例15．已知中心在原点的双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，①求双曲线
的方程；②若直线
与双曲线
有两个不同的交点
和
，且
（
为原点），求
的取值范围．

【面积】例16．（Ⅰ）已知双曲线
：
的两个焦点为
、
，点
在双曲线
上．①求双曲线
的方程；②记
为坐标原点，过点
的直线
与双曲线
相交于不同两点
、
，若
的面积为
，求直线
的方程．

（Ⅱ）已知中心在原点的双曲线
的一个焦点是
，一条渐近线的方程是