数学专题（七）

直线、平面、简单几何体

陕西 ?安振平

高考风向标

本讲高考的知识点是：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法．平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质．多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球．在高考命题时，一般呈现一道解答试题和两到选择、填空题．其热点内容是有关垂直的推理证明和角、体积等的计算问题。

典型题选讲

例1 已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：MN⊥AB；

（2）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；

（3）在（2）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积．

讲解 （1）连结AC，AN. 由BC⊥AB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BC⊥PB.

又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，

即
.由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，

则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，即
．
，

又∵M是AB的中点，

．

（2）为了求二面角P—CD—A的大小，需要

先作出它的平面角．

由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC，

则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成

二面角的平面角．由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DN⊥PC．

又∵平面MND⊥平面PCD于ND， ∴PC⊥平面MND ∴PC⊥MN，而N是PC中点，则必有PM=MC．
．

此时
，即二面角P—CD—A的大小为
．

（３）关于体积的计算，需要转换角度看问题，事实上，我们容易知道：
，连结BD交AC于O，连结NO，则