高中数学难点解析

难点11 函数中的综合问题

函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.

●难点磁场

(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.

●案例探究

［例1］设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,
］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.

(1)求f(
)、f(
);

(2)证明f(x)是周期函数；

(3)记an=f(n+
),求

命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.

知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.

错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.

技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为
是解决问题的关键.

解：因为对x1,x2∈［0,
］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=
≥0,

x∈［0,1］

又因为f(1)=f(
+
)=f(
)·f(
)=［f(
)］2

f(
)=f(
+
)=f(
)·f(
)=［f（
）］2

又f(1)=a>0

∴f(
)=a
,f(
)=a

(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个

周期.

(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f(
)=f(n·
)=f(
+(n－1)
)=f(
)·f((n－1)·
)

=……

=f(
)·f(
)·……·f(
)

=［f(
)］n=a

∴f(
)=a
.

又∵f(x)的一个周期是2

∴f