高中数学难点解析

难点12 等差数列、等比数列的性质运用

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.

●难点磁场

(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.

●案例探究

［例1］已知函数f(x)=
(x<－2).

(1)求f(x)的反函数f-－1(x);

(2)设a1=1,
=－f－-1(an)(n∈N*),求an;

(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<
成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.

错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{
}为桥梁求an,不易突破.

技巧与方法：(2)问由式子
得
=4,构造等差数列{
},从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.

解：(1)设y=
,∵x<－2,∴x=－
,

即y=f－-1(x)=－
(x>0)

(2)∵
，

∴{
}是公差为4的等差数列，

∵a1=1,
=
+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=
.

(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=
,由bn<
,得m>
,

设g(n)=
,∵g(n)=
在n∈N*上是减函数，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<
成立.

［例2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.