高中数学难点解析

难点16 三角函数式的化简与求值

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.

●难点磁场

(★★★★★)已知
＜β＜α＜
,cos(α－β)=
,sin(α+β)=－
,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin220°+cos280°+
cos20°cos80°的值.

命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.

知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.

错解分析：公式不熟，计算易出错.

技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.

解法一：sin220°+cos280°+
sin220°cos80°

=
(1－cos40°)+
(1+cos160°)+
sin20°cos80°

=1－
cos40°+
cos160°+
sin20°cos(60°+20°)

=1－
cos40°+
(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+
sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－
cos40°－
cos40°－
sin40°+
sin40°－
sin220°

=1－
cos40°－
(1－cos40°)=

解法二：设x=sin220°+cos280°+
sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°－
cos20°sin80°，则

x+y=1+1－
sin60°=
，x－y=－cos40°+cos160°+
sin100°

=－2sin100°sin60°+
sin100°=0

∴x=y=
，即x=sin220°+cos280°+
sin20°cos80°=
.

［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=
的a值，并对此时的a值求y的最大值.

命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目

知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.

错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.

技巧