高中数学难点解析

难点19 解不等式

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.

●难点磁场

(★★★★)解关于x的不等式
＞1(a≠1).

●案例探究

［例1］已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时
＞0.

(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；

(2)解不等式：f(x+
)＜f(
)；

(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围.

命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.

错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+
∈［－1，1］，
∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.

技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.

(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=
·(x1－x2)

∵－1≤x1＜x2≤1，

∴x1+(－x2)≠0，由已知
＞0，又 x1－x2＜0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数.

(2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

∴
解得：{x|－
≤x＜－1，x∈R}

(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0