云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

注意：请将试题答在答题卡上，答在试卷上无效！

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.)

1.
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知集合M=
则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知点A（1，1），B(4,2)和向量
若
, 则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.函数
的零点所在的区间为（ ）

A. (－1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (1，e)

5. 若幂函数
的图像不过原点，则实数m的取值范围为（ ）

A.
B.
或

C.
D.

6. 已知
，则f(3)为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

7. 函数
的值域是（ ）

A. (0,1) B.
C.
D.

8. 已知
，
，
则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 函数
（其中A>0,
）的图像如图所示，为了得到
的图像，则只要将
的图像（ ）

A.向右平移
个单位长度

B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度

D. 向左平移
个单位长度

10. 若函数
的图像经过第一、三和四象限，则（ ）

A. >1 B. 0< <1且m>0

C. >1 且m<0 D. 0< <1

11.已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则
（ ）

A. 有最大值，为8 B. 是定值6

C. 有最小值，为2 D. 与P点的位置有关

12. 若函数
为奇函数，且在
上是减函数，又
，则
的解集为（ ）

A. (－3,3) B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知
，则
__________.

14. 若向量
满足
且
则向量
的夹角为__________.

15. 若函数
上是增函数，则实数的取值范围是__________．

16. 已知
是定义在R上的偶函数，并满足
，当

,则

__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知
都是锐角，

.

(Ⅰ) 求
的值;

(Ⅱ) 求
的值.

18. （本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）若
，求函数的值域.

19．（本小题满分12分）已知函数
的定义域是[0,3]，设

（Ⅰ）求
的解析式及定义域；

（Ⅱ）求函数
的最大值和最小值．

20. （本小题满分12分）已知向量
，
.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t, 使
，
满足
试求此时
的最小值.

21. （本小题满分12分）已知
是定义在R上的偶函数，且
时，
.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若
的取值范围.

22. （本小题满分12分）已知
是定义在
上的奇函数，且
，当

,
时，有
成立.

（Ⅰ）判断
在
上的单调性，并加以证明；

（Ⅱ）若
对所有的
恒成立，求实数m的取值范围.

玉溪一中2014—2015学年上学期期末考试

高一数学参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.)

1. D 2. C 3. C 4. B 5. B 6.A

7. A 8. B 9. A 10. C 11. B 12. D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
14.
15.
16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（10分）

解：（Ⅰ）
，

.

（Ⅱ）

，

=

=
.

18、（12分）

解：（Ⅰ）f(x)=cos x(
sin x+cos x)+1

=cos2x+
sin x cos x+1

=
+1

=
cos2x+
sin2x+

=sin(2x+
)+

∵T=
=
=

即函数f(x)的最小正周期为.

由f(x)=sin(2x+
)+

由2k－
≤2x+
≤2k+
，

解得：－
+k≤x≤
+k，

故函数f(x)=sin(2x+
)+
的单调递增区间为[－
+k，
+k]，
。

（Ⅱ）x [－
,
] ， －
≤2x≤
，－
≤2x+
≤

∴－
≤sin(2x+
)≤1

∴1≤sin(2x+
)+
≤

∴函数的值域为[1,
].

19．（12分）

解：（Ⅰ）∵f(x)＝2x，

∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.

∵f(x)的定义域是[0,3]，

∴解得0≤x≤1.

∴g(x)的定义域是[0,1]．

（Ⅱ）g(x)＝(2x)2－4×2x

＝(2x－2)2－4.

∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]．

∴当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3；

当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4.

20、（12分）

解：（Ⅰ）∵
·
=cos(－
) cos(
)+sin(+
) sin(
)

=sin cos
－sin
cos

=0

∴
⊥
.

（Ⅱ）由
⊥
得
·
=0

即[
+(t2+3)
]·(－k
+t
)=0

∴－k
+(t3+3t)
+[t－k(t2+3)]
·
=0

∴－k|
|2+(t3+3t)|
|2=0

又∵|
|2=1，|
|2=1

∴－k+ t3+3t=0 ∴k=t3+3t

∴
=

=t2+t+3

=(t+
)2+

故当t=－
时，
取得最小值，为
.

21、（12分）

解：（Ⅰ）令x＞0，则－x＜0，

从而f(－x)=
(x+1)=f(x)，

∴x＞0时，f(x)=
(x+1).

∴函数f(x)的解析式为f(x)=
.

（Ⅱ）设x1, x2是任意两个值，且x1＜x2≤0，

则－x1＞－x2≥0，∴1－x1＞1－x2.

∵f(x2)－f(x1)

=
(－x2+1)－
(－x1+1)

=

＞
1=0，∴f(x2)＞f(x1)，

∴f(x)=
(－x+1)在(－∞, 0]上为增函数. 又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(x)在(0, +∞)上为减函数.

∵f(a－1)＜－1=f(1)，∴|a－1|＞1，解得a＞2或a＜0.

故实数a的取值范围为(－∞, 0)
(2, +∞).

22、（12分）

解：（Ⅰ）任取x1, x2 [－1, 1]，且x1＜x2，则－x2 [－1, 1]. 因为f(x)为奇函数.

所以f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=
·(x1－x2),

由已知得
＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).

所以f(x)在[－1, 1]上单调递增.

（Ⅱ）因为f(1)=1, f(x)在[－1, 1]上单调递增，

所以在[－1, 1]上，f(x)≤1.

问题转化为m2－2am+1≥1，

即m2－2am≥0，对a [－1, 1]恒成立.

下面来求m的取值范围.

设g(a)=－2ma+m2≥0.

①若m=0，则g(a)=0，对a [－1, 1]恒成立。

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，

若g(a)≥0，对a [－1, 1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，

所以m≤－2或m≥2.

所以m的取值范围是m=0或|m|≥2.