湖南省岳阳县一中2015~2016学年高一下学期期末考试

数学试题

时量：120分钟 分值：150分

命题：周军才

一、本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、若
，则下列结论正确的是 (　　)[来源:学科网]

A.
B.
C.
D.

2、下列各式不正确的是 (　　)

A.
B.

C.
D.

3、下列结论中正确的个数有 (　　)

(1)数列
，
都是等差数列，则数列
也一定是等差数列;

(2)数列
，
都是等比数列，则数列
也一定是等比数列;

(3)等差数列
的首项为
，公差为
，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列;

(4)
为
的等比中项?
.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4、已知数列
满足
，则数列
的前10项和
为 (　　)

A.　
　　B.
C.
D.

5、函数
是 (　　)

A.周期为2π的奇函数 B.周期为π的偶函数

C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的偶函数

6、若函数
对任意
都有
，则
＝ (　　)

A.3或0 B.－3或3 C.0 D.－3或0

7、已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)

A. B. C.－ D.－

8、已知等差数列
的公差和首项都不等于0，且
，
，
成等比数列，则
(　　)

A. 2 B.3 C. 5
D.7

9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 (　　)

A.　

B.

C.4　

D.2π

10、已知函数
的图象如图所示，
，则
＝ (　　)

A.－ B.

C.－ D.

11、已知圆
的圆心为
，点
是直线
上的点，若该圆上
存在点
使得
，则实数
的取值范围为 (　　)

A.
B.
C.
D.

12、已知定义在R上的函数
对任意的
都满足
，当
时，
，若函数
至少6个零点，则
的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上.

13、若关于
的不等式
在[1,3]上恒成立，则实数
的取值范围为_______.

14、已知向量
a.若
为实数，
，则
的值为_______．

15、已知
，那么
＝________.

16、已知数列
的首项为1,数列
为等比数列且
,若
,则
＝ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分10分)

已知函数
满足
.[来源:Z#xx#k.Com]

（1）求常数
的值 ；

（2）解不等式
.

18、(本小题满分12分)

若
,
,
为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足
＋
＋
＝
，且向量
＝

＋
＋

(
，
).

（1）求
与
所成角的大小；

（2）记
＝
，试写出函数
的单调区间.

19、(本小题满分12分)

如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
，点
为
的中点.

（1）求证：
∥平面

（2）求直线
与平面
所成角.

20、(本小题满分12分)

已知
的三内角
所对的边分别是
，
的面积
且
.

（1）求
；

（2）若边
，求
的面积
.

21、(本小题满分12分)

已知函数
的一系列对应值如下表：

x

－















y

－1

1

3

1

－1

1

3



(1)根据表格提供的数据求函数
的一个解析式；

(2)根据(1)的结果：

（i）当
∈[0，]时，方程
恰有两个不同的解，求实数
的取值范围；

（ii）若
是锐角三角形的两个内角，试比较
与
的大小.

22、(本小题满分12分)

已知数列
的前
项和为
，
且点
在直线
上.

求
及
；

若数列
满足

，
，数列
的前
项和为
，求证：当
时，
.

参考答案一、选择题：DBBCC BAAAB DA

二、填空题：

13.
14.  15.  16. 1 024

三、解答题：

17. 解：（1）因为
所以
，由
即
得
………4分

由此得
，则
得

当
时，
，所以

当
时 ，
，所以
………8分

综上
的解集为
………10分

18. 【解析】( 1 ) 依题设：|
|＝|
|＝|
|＝1，且
＋
＝－

所以(
＋
)2＝(－
)2,化简得：
·
＝－
………3分

所以cos<
,
>＝－
，又<
,
>∈[0, π] ………5分

所以 <
,
>＝
.………6分

( 2 )由 ( 1 )易知：
·
＝
·
＝
·
＝－
，

故由f(x)＝|
|＝
，………7分

将其展开整理得：
f(x)＝
(
，n∈N＋). ………9分

可知f(x)的增区间为(
, ＋∞)，减区间为(0,
). ………12分

19. 证明：（1）连接
交
于点
，连

在
中，
分别为
的中点，则
∥
，

又

平面
，

平面

所以
∥平面

（2）因为平面

平面
，且平面

平面
＝
，

所以
平面
,又
平面

所以

,又
,

所以
，

直线
在平面
内的射影是

所以
是直线
与平面
所成角

在
中，
则

在正方形
中，

在
，
，所以

即直线
与平面
所成角为

20. 解：（1）由余弦定理有
，所以

则
，又

所以

在
中
…………………………4分

在
中
或
，但

所以

所以
………………………6分

…………8分

（2）由正弦定理有
，又
，所以
得
……10分

……12分

21. [解析]　(1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－(－)＝2π

由T＝，得ω＝1，又，解得

令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－

∴f(x)＝2sin(x－)＋1.………………4分

(2) （i）f(3x)＝2sin(3x－)＋1，令t＝3x－，∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，

如图，sint＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[