2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考

高中一年数学科试卷

参考公式： 锥体体积公式：
；球的体积公式：
；

圆锥侧面积公式：
；球的表面积公式：

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．）

1．已知直线l的方程为y＝x＋1，则直线l的倾斜角为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．135°

2．若
，
是异面直线，直线
∥
，则
与
的位置关系是(　　)

A． 相交 B． 异面 C．异面或相交 D．平行

3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的

面积是(　　)

A．12　　　 B．6 C．6　　　 D．3

4．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y－1＝0垂直，则实数a＝(　　)

A．　　　 B．－1 C．2 D．－1或2

5．已知 a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)

A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若α⊥β，a?α，b?β，则a⊥b

C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若α∥β，a?α，则a∥β

6．若圆
关于直线
对称，则实数
的值为(　　)

A．－3 B．－1 C．1 D．3

7．如图，记长方体ABCD－A1B1C1D1被平行于棱B1C1的平面EFGH截

去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确的是(　　)

A．EH∥FG B．四边形EFGH是平行四边形

C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台

8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)

A．6π??????? B．5π???????

C．4π???? D．3π

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1C与

平面DD1B1B所成角的大小为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

10．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝4外，则直线

ax＋by＝4与圆O的位置关系是(　　)

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

11．已知两定点A(－3，0)，B(3，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A．π B．4π C．9π D．16π

12．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为(　　)

A．6 B． C．8 D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置．）

13．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝8，|DC|＝6，|DD1|＝3，则D1B1

的中点M的坐标为__________，|DM|＝_______．

14．两直线3x＋4y－9＝0和6x＋my+2＝0平行，则它们之间

的距离为 ___________．

15．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m的值为__________．

16．已知一个空心密闭（表面厚度忽略不计）的正四面体工艺品的棱长为
，若在该工艺品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为____．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点，
，
，
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

18．（本小题满分12分）已知直线
与直线
交于点
．

（1）求过点
且平行于直线
的直线
的方程；（结果都写成一般方程形式）

（2）求过点
的所有直线中使原点
到此直线的距离最大的直线
的方程．

19．（本小题满分12分）如图为一简单组合体，其底面
为正方形，棱
与
均垂直于底面
，
，
为
的中点，求证：

（1）平面
∥平面
；

（2）
⊥平面PDB．

20．（本小题满分12分）已知圆心为
的圆经过点
和
，且圆心
在直线

：
上．

（1）求圆
的标准方程；

（2）若
是圆
上的动点，求
的最大值与最小值．

21．（本小题满分12分）如图，
是圆
的直径，
是圆
上不同于
的一点，

⊥平面
，
是
的中点，
，
．

（1）求证：
⊥
；

（2）求二面角
的正弦值．

22．（本小题满分12分）已知圆
：
，直线
：
．

（1）若直线
被圆
截得的弦长为
，求实数
的值；

（2）当
时，由直线
上的动点
引圆
的两条切线，若切点分别为
，则在直线
上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考

高中一年数学科试卷参考答案

一、选择题 B C A A D C D B A C D B

二、填空题 13.（4,3,3）， 14. 2 15. 9 16、

（注：13题两个空格中答对一个得3分，全对得5分）

三、解答题

17．解：(1) 证明：设B1C与BC1相交于点O，连接OD

∵四边形BCC1B1是平行四边形

∴点O为B1C的中点

又D为AC的中点

∴OD∥AB1 …………………3分

∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D

∴AB1∥平面BC1D …………………5分

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱CC1⊥平面ABC

故CC1为三棱锥C1-BCD的高，CC1＝A1A＝2

∵D为AC的中点，

∴S△BCD＝
S△ABC＝
(
BC·AB)＝

∴VD-B CC＝VC-BCD＝
S△BCD·CC1＝
×
×2＝1 ………………10分

18．解：(1)由
得
…………………3分

由已知得直线
的斜率为

故直线
的方程为
即
……………6分

(2)当
时，原点
到此直线的距离最大 ………………8分

又
，则直线
的斜率为

故直线
的方程为
即
…………12分

19．证明：(1) ∵ PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD

∴EC∥PD

又PD?平面PDA，EC?平面PDA

∴EC∥平面PDA ………………2分

∵四边形
为正方形

∴BC∥AD，又AD?平面PDA，BC?平面PDA

∴BC∥平面PDA ………………4分

∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，EC∩BC＝C

∴平面EBC∥平面PDA ………………6分

(2) 设AC与BD相交于点O，连接NO

∵四边形
为正方形

∴O为BD的中点，又
为
的中点

∴NO∥PD且NO＝
PD

又由（1）得EC∥PD，且

∴NO∥EC且NO＝EC

∴四边形NOCE为平行四边形

∴NE∥OC，即NE∥AC ………………9分

∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD

∴AC⊥PD

又DB⊥AC，PD∩BD＝D

∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC

∴NE⊥平面PDB ………………12分

20．解：(1)线段
的中点为
，又

故线段
的垂直平分线方程为
即
……2分

由
得圆心
………………4分

圆
的半径长

故圆
的标准方程为
………………6分

(2)令
，即

当直线
与圆
相切于点
时，
取得最值…………8分

则圆心
到直线
的距离为

，解得
或

故
的最小值为
，最大值为
………………12分

21．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC

∴PA⊥BC

又
是圆
的直径，
是圆
上不同于
的一点

∴
，即AC⊥BC，又PA∩AC＝A

∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC

∴BC⊥AE ………………3分

∵PA＝AC，E是PC的中点

∴AE⊥PC，又BC∩PC＝C

∴AE ⊥平面PBC，又PB?平面PBC

∴AE ⊥PB ………………6分

(2)过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF

又由（1）得AE ⊥PB，AE∩AF＝A

∴ PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF

∴ PB⊥EF，又AF⊥PB

∴
是二面角
的平面角 ………………9分

∵在Rt?PAC中，
，则
，

在Rt?PAB中，
，
，同理得

∴在Rt?AEF中，

故二面角
的正弦值为
………………12分

22．解：(1)圆
的方程可化为

故圆心为
，半径

则圆心
到直线
的距离为

又弦长为
，则
[:]

即
，解得
………………4分

(2)当
时，圆
的方程为
①

则圆心为
，半径
，圆
与直线
相离

假设在直线
上存在一个定点满足条件，设动点

由已知得PA⊥AC，PB⊥BC

则
在以
为直径的圆

即
上 ② ………………7分

①—②得，直线
的方程为
③

又点
在直线
上，则
，即
，代入③式

得

即直线
的方程为
……………10分

因为上式对任意
都成立，故
，得

故在直线
上存在一个定点，定点坐标为
………………12分

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