天水一中2013级2014——2015学年第一学期第二学段考试

数学试题（理科）

命题：韩云亮 审核：张硕光

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.由“若
，则
”推理到“若
，则
”是（ ）

A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.不是推理

2．已知
,则“
”是“复数
为虚数单位)为纯虚数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3．函数=

的导函数是( )

A．y′=3

B．y′=2

C．y′=
（3
+
） D．y′=
（3
+

）

4.两不重合平面的法向量分别为
＝(1,0，－1)，
＝(－2，0,2)，则这两个平面的位置关系是(　 　)

A．平行 B．相交不垂直 C．垂直 D． 以上都不对

5. 观察
，由归纳推理可得：若定义在R上的函数
满足
，记
为
的导函数，则
（ ）

B.
C.
D.

6．函数
的定义域为（a,b），其导函数
内的图象如图所示，则函数
在区间（a,b）内极小值点的个数是（ ）

A． 1 B．2 C．3 D．4

7.函数
在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）

A. 5，15 B. 5，
C. 5，
D. 5，

8.函数
在
处有极值10, 则点
为（ ）

A.
B.
C.
或
D.不存在

9.平面α的一个法向量
＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为（ ）

A． B． C． D．

10.设
分别是定义在上的奇函数和偶函数,当
时，

，且
，则不等式
的解集是（ ）

A.
B.

C.
D.

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．设复数满足
（是虚数单位），则复数的模为 ．

12．计算由曲线
与直线
所围成图形的面积 ．

13.点是曲线
上任意一点, 则点到直线
的距离的最小值是 ．

14．已知定义在R上的函数
满足
为
的导函数。已知
的图象如图所示，若两个正数
满足
，

则
的取值范围是 ．

三、解答题（共44分）

15．（本小题满分10分）已知曲线C：
.

（Ⅰ）试求曲线C在点
处的切线方程；

（Ⅱ）试求与直线
平行的曲线C的切线方程．

16．（本小题满分10分）已知数列
的前项和
．

（1）计算
，
，
，
；

（2）猜想
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

17．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，

，
为正三角形，

且平面
平面
．

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

18．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对于
都有
成立，试求的取值范围；

（Ⅲ）记
.当
时，函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围.

2013级（高二）2014——2015学年第一学期第二学段考试试题

数学（理科）

一、选择题（每小题4分，共40分）BCDAD ACBBB

二、填空题（每小题4分，共16分）11. 12.
13.
16.

三、解答题（共44分）

15.解：(Ⅰ)
（Ⅱ）
或

16.（1）解：
；
；
；
.

(2)猜测：
.下面用数学归纳法证明

①当
时，猜想显然成立．

②假设
时，猜想成立，即
．

那么，当
时，
，即
．又
，

所以
，从而
．

即
时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．

17．（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接PO，OC，

∵
为正三角形，∴

又∵在四边形ABCD中，

，∴BC∥AO,且BC=AO

∴四边形ABCO为平行四边形，∴

∴
，∴

(Ⅱ)由（Ⅰ）知
，且平面
平面
∴
平面
，所以分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，并设BC=1，则AB=AD=2，
,

∴
，
，
，
，

∴
，
,
,

设平面APD，平面PDC的法向量分别为

则

∴

∴分别取平面APD，平面PDC的一个法向量

∴
∴二面角
的余弦值为

18．解: (I) 直线
的斜率为1.函数
的定义域为
，
，所以
，所以
. 所以
.
.由
解得
；由
解得
.

所以
的单调增区间是
,单调减区间是
.

(II)
，由
解得
；由
解得
.

所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.

所以当
时，函数
取得最小值，
.

因为对于
都有
成立，所以
即可.

则
. 由
解得
. 所以的范围是
.

(III)依题得
，则
.由
解得
；由
解得
.

所以函数
在区间
为减函数，在区间
为增函数.

又因为函数
在区间
上有两个零点，所以

解得
.所以
的取值范围是
.