时间：120分钟 满分：160分

参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：
，其中
为样本平均数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1． 命题“
，
”的否定是 ▲ ．

2．抛物线
的准线方程为 ▲ ．

3． 在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的

分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最

低分后，所剩数据的方差为???▲??．????????

4．若复数
(
)是纯虚数，则
= 　▲　　　 ．

5． 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为　▲　　　 ．

6. 右图是一个算法流程图，则输出S的值是???▲?????．

7 .已知曲线
在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为?▲?????．

8. 一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲? ．

9. 已知等比数列
中，有
?成立．类似地，在等差数列
中，有______▲　___成立．

10．为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有???▲??????　种．（用数字作答）

11． “
”是“方程
表示椭圆”的_____▲　　　_条件．

（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”）

12. 函数
在
上单调递减，则实数的取值范围是　▲　．

13. 椭圆
的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足
，则
的范围是 ▲　 ．

14. 函数
,其导函数为
，则
= ▲　 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）设p：复数
在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数
在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

16. （本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；

（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；

（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.

17. （本小题满分14分）对于一切
，等式

恒成立．

（1）求
的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．

18. （本小题满分16分） 如图，
?是边长为3的正方形，
，
，
，
与平面
所成角为
．（1）求证：
；（2）求二面角
的正弦值；（3）设点
是线段
上一个动点，试确定点
的位置，使得
，并证明你的结论．

19. （本小题满分16分） 已知椭圆E:
,以抛物线
的焦点为顶点,且离心率为
．

(1)求椭圆E的方程；(2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线
：
与轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上； (ⅱ)求△AMN面积的最大值．

20. （本小题满分16分）已知函数
，设

（1）求函数
的单调区间；(2）若以函数
图象上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立，求实数的最小值；（3）是否存在实数
，使得函数
的图象与函数
的图象在
恰有两个不同交点？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由．

江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二数学试题（理科）答题纸

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1 2 3 4 5

6 7 8 9

10 11 12 13 14

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）





16. （本小题满分14分）





17. （本小题满分14分）





18. （本小题满分16分）





19. （本小题满分16分）　　











20. （本小题满分16分）







江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试

高二数学试题（理科）

参考答案与评分标准

一、填空题：

二、解答题：

15. 解：∵复数
在复平面上对应的点在第二或第四象限，

∴
，即
或
. ………………5分

∵函数
在R上有极大值点和极小值点各一个，

∴
有两个不同的解，即△＞0.

由△＞0，得m＜－1或m＞4 …………10分

要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题， ………………12分

∴
．

的取值范围为
． ………………14分

16.解: （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

………………………………3分

所以低于60分的人数为
（人）……………………………….5分

（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），

频率和为

所以，抽样学生成绩的优秀率是
%……………………………………………………8分.

于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%……………………………………9分.

（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9．所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：
…………………14分

17. 解：(1)将
代入等式得：
解得：
……………6分

（2）由（1）得，

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=
,右边=
，等式成立；…………………………8分

②假设n＝k时等式成立，即

则n＝k＋1时，

即n＝k＋1时等式成立. ……………………12分

由①②知，等式
成立. …14分

18. (1)证明： 因为
平面
，
,所以
.??………2分

因为
是正方形，所以
，又
，从而
平面
.

……??…??……??……4分（本小题也可用空间向量以算代证，参照给分）

(2)解：因为
两两垂直，所以建立空间直角坐标系
如图所示.

因为
与平面
所成角为
，即
，……5分

所以
.由
可知
，
.? ………6分

则

所以
?? ………7分

设平面
的法向量为
，则
，即
，

令
，则
.?????????????????????????????? …………………8分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
.??????? …………………9分

所以二面角
的正弦值为
.………………10分

(3)解：点
是线段
上一个动点，设
.

则
，，因为
，所以
，??………………12分

即
，解得
.?????????????????????????? …………………14分

此时，点
坐标为
，
，符合题意. …………………16分

19. 解：(1)因为抛物线
的焦点为
,又椭圆以抛物线焦点为顶点,

所以
∴椭圆E的方程为
．…………… 4分

(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设
，则
，
.

AF与BN的方程分别为：

设
，则有
由上得
，…6分

由于

，

所以点M恒在椭圆C上…………10分

所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞). ……………4分

（2）由
得
恒成立,即
恒成立………………………6分

因为当
时，
取得最大值0，所以，
，所以，的最小值为0. ……9分

（3）若
的图象与函数
的图象在
恰有两个不同交点，即
在
有两个不同的根，亦即
两个不同的根. ………………………11分

令
，
，则
，
.………………………13分

当x变化时G/(x)、G（x）的变化情况如下表：

x 1

（1,2）

2

（2,e）

e



G/(x)的符号

+

0

-





G（x）

↗



↘





由上表知：
,又
，所以，当
时，
，所以，当
时，
的图象与函数
的图象在
恰有两个不同交点．………………………16分