2014—2015学年度第一学期南昌市期末终结性测试卷

高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项是正确的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

C

B

C

B

C

B

D

B

C

B



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．0 15．2 16．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

解：p为真时，(a－2)(6－a)＞0，解得2＜a＜6．---------------2分

q为真时，4－a＞1，解得a＜3．---------------4分

由命题 “p∨q”为真，“p∧q”为假，可知命题p，q中一真一假．---------------5分

当p真，q假时，得3≤a＜6．---------------7分

当p假，q真时，得a≤2．---------------9分

因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．---------------10分

18. （本小题满分12分）

解析：（I）假设
均小于1，即
，则有

而
，矛盾．所以原命题成立------------6分

（II）证明：要证：
.

∵
，∴两边均大于零，因此只需证：

只需证：

只需证：

只需证：

即证：
，它显然成立，∴原不等式成立. ---------------12分

19．（本小题满分12分）

解析：（I）∵
，∴
，---------------2分

当
，若
，则
，解得
，
，---------------3分

列表可知





























↗

极大值

↘

极小值

↗



---------------5分

∴
是极小值点，
是极大值点；---------------6分

（II）若
为上的单调函数，则
在上不变号，---------------8分

又∵
，∴
在上恒成立，---------------10分

∴
，---------------11分

∴
．---------------12分

20．（本小题满分12分）

解（I）　易得：

∵an>0，∴Sn>0，

由S1＝
(a1＋
)，变形整理得
＝1，

取正根得S1＝1.

由S2＝
(a2＋
)及a2＝S2－S1＝S2－1得

S2＝
(S2－1＋
)，变形整理得
＝2，取正根得S2＝
.

同理可求得S3＝
.由此猜想Sn＝
.

（II）用数学归纳法证明如下：

(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．

(2)假设当n＝k时，结论成立，即Sk＝
.

那么，当n＝k＋1时，

Sk＋1＝
(ak＋1＋
)＝
(Sk＋1－Sk＋
)

＝
(Sk＋1－
＋
)．

整理得
＝k＋1，取正根得Sk＋1＝
.

故当n＝k＋1时，结论成立．(11分)

由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，Sn＝
都成立．

21. （本小题满分12分）

解：（I）由条件得：
，解得：
，

所以椭圆：
---------------5分

（II）设

，所以：
，即：
------------7分

又因为：
，且
，--------10分

代入化简得：
---------12分

22. （本小题满分12分）

解：（1）∵f（x）=ax2﹣（2+5a）x+5lnx，

∴
，x＞0．

∵曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，

∴ f ′（3）=f ′（5），即
，解得
．---------------3分

（2）∵
，x＞0，

当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，
）上，
；在区间（
，+∞）上，

．故f（x）的增区间是（0，
），减区间是（
，+∞）．---------------4分

②当0＜a＜
时，
．在区间（0，
）和（
，+∞）上，f′（x）＞0；在区间（
，
）上，
．故f（x）的增区间是（0，
），（
，+∞），减区间是（
，
）．------5分

③当a=
时，
，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．----6分

④当a＞
时，
，在区间（0，
）和（
,∞）上，
；在（
，
）上，

，故f（x）的增区间是（0，
），（
,∞），减区间是（
）．---7分

（3）∵
,对任意
，均存在
，使得f（x1）＜g（x2），

∴在（0，
]上，有f（x）max＜g（x）max．---------------8分

在（0，
]的最大值g（x）max=g（
）=0．---------------9分

由（II）知：①当
时，
在（0，
]上单调递增，

故
,

∴
，解得
,

故
．-------10分

②当a＞
时，
在（0，
]上单调递增，在（
]上单调递减，

故
,

由
，知
，∴
，∴
，

∴
,
．---------------11分

综上所述a的取值范围是
．---------------12分