（时量：120分钟 总分：150分）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．

A．
B．
C． D．

2．不等式
的解集是

A．
B．

C．
D．

3．抛物线
的准线方程是

A.
B.
C.
D.

4．已知命题：
，
，命题：
，
，则下列说法中正确的是

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

5．等差数列
中,
, 那么它的公差是

A．4 B．5 C．6 D．7

6．已知
，下列命题正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

7．在△ABC中，若
，则
＝

A．
B．
C．
D．

8．函数
的单调递减区间为

A．
B．
C．
D．

9．已知实数x，y满足
，则
的最大值为

A．10 B．8 C．2 D．0

10．已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数的取值范围为

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与x的线性回归方程为
必过点 .

12．双曲线
的渐近线方程为 .

13．曲线
在点（1，3）处的切线方程为 .

14. 观察下列式子：

根据以上式子可以猜想：
_________.

15．已知
分别是椭圆
的左、右焦点，为直线
上的点，
是底角为
的等腰三角形，则的离心率为 .

三、解答题（本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知△
的内角
所对的边分别为
，且
，
.

（1）若
，求
的值；

（2）若△
的面积
，求
，的值.

17．（本小题满分12分）

已知
，
.

（1）若
，命题“且”为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）

某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素，
，，和最新发现的．甲种胶囊每粒含有维生素，
，，，分别是1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙种胶囊每粒含有维生素，
，，，分别是3mg，2mg，1mg，3mg，2mg．此人每天摄入维生素至多19mg，维生素
至多13mg，维生素至多24mg，维生素至少12mg.

设该人每天服用甲种胶囊粒，乙种胶囊粒，为了能满足此人每天维生素的需要量，请写出，满足的不等关系.

（2）在（1）的条件下，他每天服用两种胶囊分别为多少时，可摄入最大量的维生素，且最大量为多少？

19．（本小题满分13分）

数列
是首项为1的等差数列，且公差不为零，
成等比.

（1）求数列
的公差及通项公式
；

（2）若等比数列
满足：
，且
，求正整数
的值.

20．（本小题满分13分）

已知函数
在点
处取得极大值
，其导函数
的图

象经过点
，
，如图所示：

（1）求
的值；

（2）求
的值.

21．（本小题满分13分）

椭圆
过点
，离心率为
，左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）当
的面积为
时，求直线的方程.

娄底市2014-2015学年上学期高二教学检测

数学（文科）试题

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．

A．
B．
C． D．

【解析】略．

2．不等式
的解集是

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】注意分解因式后变量系数的正负.

3．抛物线
的准线方程是

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】略.

4．已知命题：
，
，命题：
，
，则下列说法中正确的是

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

【答案】C

【解析】命题为真命题，命题为假命题，
为真命题.所以C正确.

5．等差数列
中,
, 那么它的公差是

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】由等差中项得

,
解得
，所以公差
.

6．已知
，下列命题正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

【答案】D

【解析】当
时，不正确；当
，不正确；当
，
不正确；对应，
，则
，故答案为D.

7．在△ABC中，若
，则
＝

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】
，由正弦定理可得，

即：

8．函数
的单调递减区间为（　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】∵
的定义域为
，
，∴由y′≤0得：0＜x≤1，

9．已知实数x，y满足
，则
的最大值为（ ）

A．10 B．8 C．2 D．0

【答案】B

【解析】如图所示，三角形AOB中所围成的x、y的可行域，欲求目标函数

的最大值，即等价于过点B所在y轴的截距最大.
.故选B.

10．已知直线
与椭圆
恒有公共点，则实数的取值范围为

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】由题可知：
表示的是椭圆，故
，判断直线与曲线交点的问题，需将两个方程联立，
，恒有公共点要求
对
恒成立，所以
，整理可得
，由于
的最小值为0，所以
，即
.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3



y

1

3

5

7



则y与x的线性回归方程为
必过点 ．

【答案】

【解析】线性回归方程必过样本中心点坐标
，
，所以过点
.

12．双曲线
的渐近线方程为 ．

【答案】
.

【解析】略.

13．曲线
在点（1，3）处的切线方程为 ．

【答案】
．

【解析】
，然后令
得，
，再由所求切线方程过点（1，3），所以所求切线方程为：
，化简整理得
．

14. 观察下列式子：

,…

根据以上式子可以猜想：
_________.

【答案】
.

【解析】∵
，
，

…我们可以推断

∴

.

15．已知
分别是椭圆
的左、右焦点，为直线
上的点，
是底角为
的等腰三角形，则的离心率为 ．

【答案】
.

【解析】根据题意可得

，因为为直线
上的点，所以
，进而求得离线率

三、解答题：本题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知△
的内角
所对的边分别为
，且
，
.

（1）若
，求
的值；

（2）若△
的面积
，求
，的值.

【答案】（1）
；（2）
，
.

【解析】（1）∵
, 且
,∴
. ……（2分）

由正弦定理得
， 、∴
. ………………………………（6分）

（2）∵
∴
. ∴
. ……（9分）

由余弦定理得
，

∴
……………（12分）

17．（本小题满分12分）

已知
，
.

（1）若
，命题“且”为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）

某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素，
，，和最新发现的．甲种胶囊每粒含有维生素，
，，，分别是1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙种胶囊每粒含有维生素，
，，，分别是3mg，2mg，1mg，3mg，2mg．此人每天摄入维生素至多19mg，维生素
至多13mg，维生素至多24mg，维生素至少12mg.

（1）设该人每天服用甲种胶囊粒，乙种胶囊粒，为了能满足此人每天维生素的需要量，请写出，满足的不等关系．

（2）在（1）的条件下，他每天服用两种胶囊分别为多少时，可摄入最大量的维生素．

并求出最大量.

【答案】（1）
；（2）每天服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊时，可摄入最大量的维生素为33mg.

【解析】（1）
．…………………（5分）

（2）目标函数为：
…………………（6分）

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域．

作直线
：
，把直线向右上方平移，直线经

过可行域上的点
时，
取得最大值．

解方程组
得
点坐标为
，此时
（mg）．

答：每天服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊时，可摄入最大量的维生素为33mg. ……（12分）

19．（本小题满分13分）

数列
是首项为1的等差数列，且公差不为零，
成等比.

（1）求数列
的公差及通项公式
；

（2）若等比数列
满足：