一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.

1.命题“
”的否定是 ▲ .

2.复数
的模为 ▲ .

3.“
”是“
”的 ▲ 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）

4.在平面直角坐标系
中，若双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则p的值为 ▲ .

5.一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲厂应抽得的热水器的台数是 ▲ .

6.如图若执行下面伪代码时
执行y←x2＋1，则输入的x的取值范围是 ▲ .

7.在如图所示的样本的频率分布直方图中，若样本容量为200，则数据落在[10,14]这组的频数为___ ▲ __.

8.执行如图所示的流程图，若p＝4，则输出的S等于___▲ ___．

9.平面上若一个三角形的周长为L,其内切圆的半径为R，则该三角形的面积S＝
，类比到空间，若一个四面体的表面积为S，其内切球的半径为R，则该四面体的体积V＝　▲　.

10.设x,y满足约束条件
，则P=x+y的范围是 ▲ .

11.若椭圆
过点（1,2），则以a,b为两直角边的直角三角形斜边长的最小值为 ▲ .

12.若复数z满足
,则
的最小值为 ▲ .

13.过椭圆
的右焦点F作一斜率大于0的直线交椭圆于A、B两点，若点F将线段AB分成2:1两段，则直线AB的斜率为 ▲ .

14.在平面直角坐标系
中，若平面区域A=
则平面区域B=
的面积为 ▲ .

二．解答题：15、16、17题每题14分，18、19、20题每题16分，计90分.

15．(本小题满分14分)

命题：函数
在
上是增函数；命题
：关于x的方程
有实数根 .

(1)若命题“且
”为真，求实数的取值范围；

(2)若命题“或
”为真，“且
”为假，求实数的取值范围.

16．(本小题满分14分)

设O为坐标原点，点P的坐标为
．

(1)在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现随机从此盒中先后连续抽出两张卡片，记两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第一象限的概率；

(2)若利用计算机随机在区间[0，3]上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第一象限的概率.

17．(本小题满分14分)

如图，将宽和长都为x,y（x

（1）求y关于x的函数解析式;

（2）当x,y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值.

18．(本小题满分16分)

如图，在棱长为3的正方体
中，
.

⑴求两条异面直线
与
所成角的余弦值；

⑵求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.

19．(本小题满分16分)

观察以下等式：

请由以上给出的等式归纳出对任意n
都成立的等式；

试用数学归纳法证明(1)的结论.

20．(本小题满分16分).

如图，过点（
）且离心率为
的椭圆
的左、右顶点坐标分别为
，若有一点在椭圆上，且异于点
，直线
与其右准线分别交于点
.

(1)求该椭圆的方程；

(2)若点H为AP的中点，当点运动时,直线AP与直线OH斜率之积是否为定值，若是定值求出该定值，若不是定值，说明理由；

(3)当点运动时，以
为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

高二期末考试数学（理科）试卷参考答案

一、填空题

18.(1)由题意建立以DA、DB、DD1为x、y、z轴的坐标系，则
=（-3,3,3）,
=(3,0,-1).

则
=
=
.所以
与
所成角的余弦值为

……………………………8分.

(2)由题意得，
，设平面
的法向量
=（x,y,z）则
，取x=1,则
=（1,2,3），又平面ABCD的法向量
=（0,0,1）则

=
，所以平面
与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

.……………….16分

20.（1）由题可求得椭圆方程为
……………………………….4分

(2)设点P为
，
，由因为H为AB的中点，O为AB的中点，所以OM平行于BP，所以
，所以
.

所以直线AP与直线OH的斜率之积为定值
…………………………..10分

(3)由（2）得直线AP的方程为y=
,所以点M(4,6
),同理可求点N(4,2
).

所以以MN为直径的圆的方程为
=0.由
=
圆方程可化简为
,令y=0,则x=1或7，所以圆恒过定点（1,0），（7,0）…………………………………16分