2014-2015学年下期高二第二次精英对抗赛文科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、已知是虚数单位，m和n都是实数，且
，则

A．-1 B．1 C．- D．

2、用反证法证明命题：“
不能被5整除，与
都不能被5整除”时，假设的内容应为

A．
都能被5整除 B．
不都能被5整除

C．
至少有一个能被5整除 D．
至多有一个能被5整除

3、对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：
，则下列说法中不正确的是

A．由样本数据得到的回归方程
必过样本中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数
来刻画回归效果，
越小，说明模型的拟合效果越好

D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

4、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程
的
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A．63.6元 B．65.5元 C．67.7元 D．72.0元

5、在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%

B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%

C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%

D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%

6、观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为

A．01　 　 　 B．43　 　 　C．07　 　 　 D．49

7、如图，程序输出的结果s＝132，则判断框中应填

A．i≥10?

B．i≥11?

C．i≤11?

D．i≥12?

8、已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是

A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4

C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4

9、下列说法中正确的是

①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设
条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝
的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．

A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③

10、某数学家观察到：
；
；
；
，于是该数学家猜想：任何形如
都是质数，请判断该数学家的推理方式并对该结论给出正误判断

A．类比推理 推理结果正确 B．类比推理 推理结果错误

C．归纳推理 推理结果正确 D．归纳推理 推理结果错误

11、对任意实数、
，定义运算
，则

A．
B．
C．
D．

12、设
的三边分别为
，
的面积为S，内切圆半径为r，则
，类比这个结论可知：四面体
的四个面的面积分别为
，内切球半径为，四面体
的体积为
，则

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、在复平面内，复数满足
，则对应的点的坐标是

14、执行如图所示的程序框图，输出结果S＝________.

15、在极坐标系中，点
到直线
的距离是

16、有一个奇数组成的数阵排列如下：

则第30行从左到右第3个数是

三、解答题（本大题共6题，共70分）

17、数列
中，
，且
，求出
并猜想通项公式
．

18、已知
，
，
，求。

19、某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附： K2＝

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

6.635

7.879





20.

21．两条曲线的极坐标方程分别为：
与
，它们相交于
两点，

（1）写出曲线
的参数方程和曲线
的普通方程；

（2）求线段
的长。

22．已知非零实数使不等式
对一切实数恒成立。

（1）求实数的取值范围
；

（2）如果
，求证：

2014-2015学年下期高二第二次精英对抗赛文数

一、选择题：

D C C A B A D B

二、填空题：

13.
14. 15. 16. 1051

三、解答题：

17. 解：由
，
，

得
，

，

依此类推归纳猜想：
．

18.

19. (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别列联表

男生

女生

总计



每周平均体育运动时间

不超过4小时

45

30

75



每周平均体育运动时间

超过4小时

165

60

225



总计

210

90

300



结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

20.

21．

22.