正阳高中2014—2015学年度上期二年级第一次素质检测数学试题

命题人：彭长亮 时间：2014年9月25日

一、选择题（12x5=60分）

1. 已知全集
，集合
，
，则
=

A.
B.

C.
D.

2. 已知平面向量
，
，且
，则的值为

A. 1 B. －1 C. －4 D. 4

3. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为

A. 72 B. 18 C. 27 D.36

4. 同时投掷两颗骰子，所得点数之和是5的概率是

A.
B.
C.
D.

5. 不等式
的解集是

A.
B.

C.
D.

6. 已知直线
过点（2，1），其中
是正数，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

7. 设
，
，
，则

A.
B.
C.
D.

8. 下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

A. 84，4.84 B. 84，1.6

C. 85，4 D. 85，1.6

9. 已知点
的坐标满足条件
（
为常数），若
的最大值为6，则
的值为

A. 9 B. －6 C. 6 D. －9

10. 若下边的程序框图输出的S是62，则条件①可为

A.
B.
C.
D.

11. 设
是函数
的零点，若
，则
的值满足

A.
B.

C.
D.
的符号不确定

12. 已知函数
，若方程
有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（4x5=20分）

13. 先后抛掷两颗均匀骰子（每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的立方体），骰子落地后面朝上的两个数字分别为a，b，则使得
的事件的概率为_________________。

14. 已知点A（－2，2），B（4，－2），则线段AB的垂直平分线的方程为____________。

15. 若直线
的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是____________。

16.设
，则函数
的最大值是_________________。

三、解答题：

17. （本小题满分10）

在△ABC中，
分别是角A，B，C的对边，
，且
。

（I）求
的值及△ABC的面积；

（II）若
，求角C的大小。

18. （本小题满分12分）

已知
为等比数列，
，
，
为等差数列
的前项和，
，
。

（I）求
和
的通项公式；

（II）设
，求
。

19. （本小题满分12分）

为了解高二年级学生暑假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生暑假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（I）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；

（II）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试．求4人中恰有2人为甲班同学的概率。

20.（本小题满分12分）

已知函数
，
。

（I）求
的最小正周期和值域；

（II）若
为
的一个零点，求
的值。

21.（本小题满分12分）

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF。

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF。

22.（本小题满分12分）

已知等差数列{a
}中，公差d>0，其前n项和为S
，且满足a
·a
＝45，a
＋a
＝14。

（Ⅰ）求数列{a
}的通项公式及其前n项和S
；

（Ⅱ）令b
＝
（n∈N＊），若数列{c
}满足c
＝－
，
＝bn（n∈N＊）。求数列{c
}的通项公式c
；

（Ⅲ）求f（n）＝
－
（n∈N＊）的最小值。

正阳高中高二第一次质检数学答案

座号





一、选择题（60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

B

A

A

B

C

D

D

C

B

A





二、填空题：每小题5分，共20分。

13.
14.

15.（－2，0） 16.





三、解答题：

17（10分）

解：（I）因为
，所以
，所以
。（2分）

又
，所以
。（3分）

所以
。

即△ABC的面积为14。（5分）

（II）因为
，且
，所以
。

又
，由
，解得
（6分）

所以
。

因为
，所以
。（10分）



请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

18.（12分）

解：（I）由
，
，可得
。

所以
的通项公式
（2分）

由
，
，可得
。

所以
的通项公式
。（5分）

（II）
①

②

①－②得：
（8分）

整理得：
（12分）



请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

19.（12分）



请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

20.（12分）

解：（I）
（2分）

，（4分）

所以
的最小正周期为。（5分）

的值域为
（6分）

（II）由
得
，

又由
得
。

因为
，所以
。（8分）

此时，

（12分）



请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

21.（12分）

解：

因为平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE＝90°，

所以DE⊥平面ABCD， 1分

所以DE⊥AC.

因为ABCD是正方形，

所以AC⊥BD， 4分

所以AC⊥平面BDE. 5分

（Ⅱ）证明：设AC
BD＝O，取BE中点G，连结FG，OG，

所以，OG

DE. 7分

因为AF∥DE，DE＝2AF，所以AF
OG，

从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO. 8分

因为FG平面BEF，AO平面BEF， 10分

所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF. 12分

22.（12分）

（Ⅰ）设数列{a
}的公差为d>0，且数列{a
}满足a
·a
＝45，a
＋a
＝14. 因为数列{a
}是等差数列，所以a
＋a
＝ a
＋a
＝14.

因为d>0，所以解方程组
得a
＝5，a
＝9. 2分

所以a
＝3，d＝2. 所以a
＝2n＋1.

因为S
＝na
＋
n（n－1）d，所以S
＝n2＋2n.



数列{a
}的通项公式a
＝2n＋1，前n项和公式S
＝n2＋2n. 5分

（Ⅱ）因为b
＝
（n∈N＊）,a
＝2n＋1，所以b
＝
.

因为数列{c
}满足c
＝－
，cn＋1－cn＝
，

所以cn＋1－cn ＝
（
－
）. cn－ cn＋1 ＝
（
－
）

… c2－c1＝
（1－
）

以上各式相加得：cn＋1－c1＝
（1－
）＝
.

因为c1＝
，所以

所以
8分

（Ⅲ）因为f（n）＝
－
，b
＝
，c
＝－
，

所以f（n）＝
＋
.

因为f（n）＝
＋
＝
＋
－
，

所以
＋
－
≥2
－

f（n）≥
－
＝
，当且仅当
＝
，即n＝2时等号成立.

当n＝2时，f（n）最小值为
. 12分



请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效