高二下学期第二次月考数学试卷

命题人：段飞华 审题人：禹明芳

第I卷（选择题）

一、选择题（每题5分）

1．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为
是实数，所以
”，你认为这个推理（ ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的

3．命题“
∈R，
－x＋1≥0”的否定是（ ）

A．
∈R，lnx＋x＋1＜0 B．
∈R，
－x＋1＜0

C．
∈R，
－x＋1＞0 D．
∈R，
－x＋1≥0

4．设随机变量X服从正态分布N（3，4），若P（X＜2a+3）=P（X＞a﹣2），则a的值为（ ）.

A．
B．3 C．5 D．

5．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）.

A．
B．
C．

D．

6．某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口，设遇到红灯的事件相互独立
，且概率都是0.3，则此人上班途中遇到红灯的次数的期望为（ ）.

A．0.3 B．0.33 C．0.9 D．0.7

7．设（x﹣
）6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则
的值为（ ）.

A．
B．
C．16 D．4

8．甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：

甲

乙

丙

丁



r

0.82

0.78

0.69

0.85





则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是（ ）.

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

9．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═
时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（ ）

A.（k+1）2+2k2 B.（k+1）2+k2

C.（k+1
）2 D.

10．某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为（ ）.

A．12 B．36 C．72 D．108

11．函数f（x）=（x2﹣2x）ex（e为自然数的底数）的图象大致是（ ）.

12．已知函数
则
是
成立的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

13．已知
的最小值为n， 则
的展开式中常数项为（ ）

A．20 B．160 C．-160 D．-20

14．若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是（ ）

A.4 B.

C.2 D.

二、填空题（每题5分）

15．若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+
1）2+…+a9（x+1）9，且a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=39，则实数m的值为 ．

16．已知函数f（x）=x3+ax2﹣
a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f（x0）=0，则a的值为 ．

17．
．

18．计算
，可以采用以下方法：构造等式：

，两边对x求导，得
，在上式中令
，得
．类比上述计算方法，计算
．

三、解答题（19题10分，20题1
2分，21、22题各14分）

19．在平面直角坐标系中，以原点为极点，
轴为极轴建立极坐标系，曲线
的方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
,若曲线
与
相交于
、
两点．

(1)求
的值；

(2)求点
到
、
两点的距离之积．

20．某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．

（1）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率

（2）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为
X，求X的分布列和期望．

21．设数列{an}满足a1=3，an+1=an2﹣2nan+2，n∈N*．

（1）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不需证明）；

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得2n＞Sn成立的最小正整数n，并给出证明．

22．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：
,对应的点
，因此是第一象限。

考点：复数的四则运算.

2．A.

【解析】

试题分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否正确，根据三个方

面都正确，才能得到结论．在本题中，因为任何实数的平方大于0，因为
是实数，所以
，大前提为：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A.

考点：演绎推理的基本方法.

3．B

【解析】

试题分析：将全称量词改写成存在量词，再将结论否定.因此命题“
∈R，
－x＋1≥0”的否定是
∈R，
－x＋1≥0，D符合题意。

考点：含有量词的命题的否定.

4．A.

【解析】

试题分析：因为随机变量X服从正态分布N（3，4），且P（X＜2a+3）=P（
X＞a﹣2），所以
与

关于
对称，即
，所以
，即
.

考点：正态分布.

5．B.

【解析】

试题分析：设事件“第一次拿到白球”为A,设事件“第二次拿到红球”为B,则事件“第一次拿到白球，第二次拿到红球”为AB；则
,
,由条件概率公式得
.

考点：条件概率.

6．C.

【解析】

试题分析：由题意得，此人上班途中遇到红灯的次数
,则
，即此人上班途中遇到红灯的次数的期望为0.9.

考点：二项分布的期望.

7．D.

【解析】

试题分析：
的展开式通项公式为
，令
，得

，即
即系数为
,二项式系数为
，则
.

考点：二项式定理.

8．D.

【解析】

试题分析：利用相关系数比较两个变量的线性相关性，相关系数的正负体现两个变量的正相关或负相关，相关系数绝对值越接近１，说明线性相关性越强，而
，所以能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是丁.

考点：线性相关性.

9．B

【解析】

试题分析：根据等式左边的特点，各
数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．

解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，

由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12

n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12

比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2

故选B．

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点．

10．B.

【解析】

试题分析：先从4个消防队中选出2个作为一个整体，有
种选法；再将三个整体进行全排列，有
种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为
.

考点：排列组合.

11．A.

【解析】

试题分析：
的定义域为
,且
；令
，得

；令
，得
；所以
在
上递增，在
上递增在上
递增，故排除B,D;又
，故排除C;因此选A.

考点：函数的图像.

12．A

【解析】

试题分析：当
时，
；反之若
，则
，前者能推后者，后者不能推前者.因此函数
则
是
成立的充分不必要条件

考点：充分条件和必要条件.

13．C

【解析】

试题分析：当
时，
，因此

，当
时，常数项为
.

考点：二项展开式的通项公式.

14．D

【解析】

试题分析：
,因此切线的斜率
，切点
，切线方程

，即
，由于与圆相切
，

，解得

考点：导数的几何意义和基本不等式的应用.

15．5.

【解析】

试题分析：令
，即
，得：
，

又因为
，所以
，则
.

考点：二项式定理、赋值法.

16．
.

【解析】

试题分析：
，
；

若
，则
，则
，
（舍）；

若
，则
，则
；综上，
.

考点：函数的极值.

17．

【解析】

试题分析：

考点：微积分基本定理的应用.

18．
.

【解析】

试题分析：对
两边同时乘以
，得

，两边对
求导

得
，令
，得

考点：二项式定理的综合应用.

19．(1)
;(2)
.

【解析】

试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；（2）掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(3)解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：解(1) 曲线
的普通方程为
，
,

则
的普通方程为
，则
的参数方程为：
2分

代入
得
，
. 6分

(2)
. 10分

考点：(1)参数方程的应用；（2)直线与椭圆相交的综合问题.

20．（1）
；

（2）

X

0

1

2

3



P













．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）先由茎叶图得出有关数据，利用对立事件求概率；（2）列出随机变量的所有可能求值，求出各自的概率，列表得出分布列，进而求出期望值.

规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；对于“至少”、“至多”，可以考虑事件的对立事件..

试题解析：（1）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，

设事件“从每班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”为事件A．

则
，

所以
．

（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1,2,3．

；
；

；
．

所以X的分布列为

X

0

1

2

3



P













因此
.

考点：1.茎叶图；2.随机事件的概率；3.离散型随机变量的分布列与期望.

21．（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1；（2）n＝6．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）先由递推公式求
，再猜想通项公式；（2）先进行猜想验证，再利用数学归纳法进行证明.

规律总结：归纳推理是合情推理的一种，对数学定理、结论的求解起到非常重要的作用；此类题型的关键是通过已知的项，发现内在的规律与联系，进而提出猜想，再利用数学归纳法进行证明.

试题解析：（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.

（2）S
n＝
＝n2＋2n，

使得
成立的最小正整数n＝6.

下证：n≥6（n∈N*）时都有2n>n2＋2n.

①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；

②假设n＝k（k≥6，k∈N*）时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2（k2＋2k）＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝（k＋1）2＋2（k＋1），即n＝k＋1时，不等式成立；

由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）

都有2n>n2＋2n成立.

考点：1.归纳推理；2.数学归纳法.

22．（1）
的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]；（2）
．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）求导，利用零点存在定理判定
在
总
存在零点.

规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从
求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.

试题解析：（1）根据题意知，
，

当
时，
的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]．

（2）∵
，∴
，

∴
.

∴
，

∴
.

∵
在区间
上总不是单调