南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二年级理科数学期中考试试题

考试时间：120分钟 命题人：杨火平 审题人：高三数学备课组

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共10个小题；每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的．

1．已知一个平面，
为空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在

直线
使得(　　)

　　A．
∥
　　　 B．
与
相交　　　C．
与
是异面直线 　　D．
⊥

2．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，

　过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为(　　)

　　A．10　　　　　　 B．20　　　　　　C．8 　　　　　D．4

3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，

　　则原来的图形是 (　　)

4．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，

则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的(　　)

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件

5. E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为(　　)

A. 　　　　　B.　　　　　C. 　　　　D.

6.已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，

侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(　　)

7．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是(　　)

A. 　　　　　　B.　　　　　　C. 　　　　　D.

8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(　　)

A.a 　　　 　　　B.a　　　　　　C.a 　　　　D.a

9．在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，

　　则AB的长度为(　　)

A. 　　　B．4　　　　C．3 　　　D．2

10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B． C．
D．

第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．

11.正四面体S－ABC中，D为SC的中点，

则BD与SA所成角的余弦值是________．

12．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的

直线共有________条．

13． ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是

上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

14． M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．

其中真命题是________.

三、解答题：本大题共5小题，共70，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

15. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，

PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．

(1)求证：PA∥平面EFG；

(2)求三棱锥P—EFG的体积．

16. （本小题满分14分）如图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，

AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM∥平面BEF，求BM的长，

并证明你的结论．

17．（本小题满分14分）四棱锥A—BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．

(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，

是否总有BF⊥CM，请说明理由；

(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

18．（本小题满分15分）如图，已知在直三棱柱
中,
，

，点D是线段
的中点.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）当三棱柱
的体积最大时，求直线
与平面
所成角
的正弦值.

19. （本小题满分15分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，

AC＝BC＝a，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M－DE－A为30°.

(1)证明：A1B1⊥C1D；

(2)求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．

南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二年级

理科数学期中试题参考答案

一、选择题：本大题共10个小题；每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的．

ＤＢＡＡＤ　　　ＣＢＡＤＣ　　

二、填空题：本大题共5个小题；每小题5分，共25分．

11．　　　 　　　　　　　　12． ６

13．　　a　　　　　　　　　　 14． ①②④

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

15．解析　(1)如图所示，取AD的中点H，连接GH，FH.

∵E，F分别为PC，PD的中点，

∴EF∥CD.∵G，H分别是BC，AD的中点，

∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．

∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH.

∵PA?平面EFG，FH?平面EFG，

∴PA∥平面EFG. ………6分

(2)∵PD⊥平面ABCD，CG?平面ABCD，

∴PD⊥CG. 又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，

∴GC⊥平面PCD. ∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，

∴S△PEF＝EF·PF＝. 又GC＝BC＝1，

∴VP—EFG＝VG—PEF＝××1＝. ………12分

16．解析　(1)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC.

因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

从而AC⊥平面BDE. ………6分

(2)因为DA，DC，DE两两垂直，

所以建立空间直角坐标系D－xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，

即∠DBE＝60°，所以＝.

因为正方形ABCD的边长为3，所以BD＝3，所以DE＝3，AF＝.

则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．

所以＝(0，，3，)，＝(3,0，－2)．

设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即，令z＝，则n＝(4,2，)． 点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)．

则＝(t－3，t,0)． 因为AM∥平面BEF，所以·n＝0.

即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.

此时，点M为(2,2,0)，BM＝BD=，符合题意． ………14分

17．解析　(1)由俯视图可知平面ABC⊥平面EBCD.

又BC＝2，O为BC中点，BE＝1，CD＝2.

∵△ABC为等边三角形，F为AC中点，∴BF⊥AC.

又平面ABC⊥平面EBCD，且DC⊥BC，

∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥BF.

又AC∩CD＝C，∴BF⊥平面ACD.∴BF⊥CM. ………6分

(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系．

B(－1,0,0)，C(1,0,0)，E(－1,1,0)，D(1,2,0)．

设A(0,0，a), 由题意可知平面ABC的法向量为(0,1,0)．

设平面ADE法向量n＝(x，y，z)．

＝(2,1,0)，＝(1，－1，a)，

∴令x＝1，y＝－2，z＝.

∴n＝(1，－2，－)．∴＝|cosθ|＝，解得a＝.

由线面角向量知识，可得sinθ＝.………14分

18.（Ⅰ）证明：记
，
为三角形
的中位线，

∥
，
平面
,
平面
，

所以
∥平面
………6分

（Ⅱ）当三棱柱
的底面积最大时，体积最大，

当
，三角形
为正三角形时取最大值………7分

设点
到平面
的距离为
，由
得

………15分

（另解）（Ⅱ）依题意，如图以D为原点，直线DA，DC分别为x,y轴建立空间坐标系，

则

设面
的法向量为
，

设
，
，

………15分

19．解析　(1) 连接CD.

∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC.

∴CD为C1D在平面ABC内的射影．

∵△ABC中，AC＝BC，D为AB中点，

∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D.

∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D. ………6分

(2)方法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF.

∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC.

又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.

∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影．

∴MF⊥DE.

∴∠MFA为二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°.

在Rt△MAF中，AF＝BC＝，∠MFA＝30°，

∴AM＝a.作AG⊥MF，垂足为G.

∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF.

∴平面MDE⊥平面AMF.

∴AG⊥平面MDE.

在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF＝.

∴AG＝，即A到平面MDE的距离为.

∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE.

∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为.

方法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF.

∵D、E分别为AB、CB的中点，∴DE∥AC.

又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.

∵MA⊥平面ABC.∴AF为MF在平面ABC内的射影．

∴MF⊥DE.

∴∠MFA为二面角M－DE－A的平面角，∠MFA＝30°.

在Rt△MAF中，AF＝BC＝，∠MFA＝30°，

∴AM＝a.设C到平面MDE的距离为h.

∵VM－CDE＝VC－MDE，

∴S△CDE·MA＝S△MDE·h，

S△CDE＝CE·DE＝，MA＝a，

S△MDE＝DE·MF＝DE·＝a2.

∴××a＝×a2×h.

∴h＝，即C到平面MDE的距离为.………15分