2014～2015学年度第二学期期中调研测试高二数学试题

本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．函数
的定义域为 ▲ .

2．已知全集
，集合
，集合
，则
▲ .

3. 函数
不论为何值时，其图像恒过的定点为 ▲ .

4．已知幂函数
的图像过点
，则
▲ .

5．已知函数
则
的值为 ▲ .

6．已知
，若
，则
▲ .

7．关于的方程
的两根为
,且满足
，则实数的取值范围是 ▲ .

8．已知
是有序数对集合
上的一个映射，正整数数对
在映射
下对应的为实数，记作
. 对于任意的正整数
，映射
由下表给出：

则使不等式
的解集为 ▲ .

9．已知函数
存在唯一零点
,则大于
的最小整数为 ▲ .

10．函数
的值域为 ▲ .

11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表:

十二进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B



十进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



例如用十二进位制表示A+B＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B＝ ▲ .

12．已知函数
在区间
上是减函数，则的取值范围是 ▲ .

13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可表示成连续奇数的和．如：

若是自然数，把
按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则
▲ .

14．已知定义在上的函数
既是奇函数，又是周期函数，且周期为
.当
时，
（、
）,则
的值为 ▲ .

二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知命题
，
．

（1）若
，求的值；

（2）若
，求的取值范围．

16．（本题满分14分）

已知为复数，
为实数，且
为纯虚数，其中i是虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数满足
，求
的最小值．

17．（本题满分14分）

某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售、两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，品牌的销售利润
与投入资金成正比，其关系如图1所示，品牌的销售利润
与投入资金的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．

（1）分别将、两个品牌的销售利润
、
表示为投入资金的函数关系式；

（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入、两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

18．（本题满分16分）

（1）找出一个等比数列
，使得1，
，4为其中的三项，并指出分别是
的第几项；

（2）证明：
为无理数；

（3）证明：1，
，4不可能为同一等差数列中的三项．

19．（本题满分16分）

已知定义在上的函数
是偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断
在
上的单调性，并用定义法证明；

（3）若
恒成立，求实数的取值范围．

20．（本题满分16分）

已知函数
．

（1）当
时，求
的零点；

（2）若方程
有三个不同的实数解，求的值；

（3）求
在
上的最小值
.

2014～2015学年度第二学期期中调研测试

高二数学试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．函数
的定义域为
.

2．已知全集
，集合
，集合
，则

.

3. 函数
不论为何值时，其图像恒过的定点为
.

4．已知幂函数
的图像过点
，则

.

5．已知函数
则
的值为
.

6．已知
，若
，则

.

7．关于的方程
的两根为
,且满足
，则的取值范围是
.

8．已知
是有序数对集合
上的一个映射，正整数数对
在映射
下对应的为实数，记作
. 对于任意的正整数
，映射
由下表给出：

则使不等式
的解集为
.

9．已知函数
存在唯一零点
,则大于
的最小整数为3 .

10．函数
的值域为
.

11．生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；

十二进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B



十进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



例如用十二进位制表示A+B＝19，照此算法在十二进位制中运算A×B＝ 92 .

12．已知函数
在区间
上是减函数，则的取值范围是
.

13．已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：

若是自然数，把
按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则
45 .

14．已知定义在上的函数
既是奇函数，又是周期函数，且周期为
.当
时，
（、
）,则
的值为
.

二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知命题
，
．

（1）若
，求的值；

（2）若
，求的取值范围．

15．【解答】：化简得 A=
， B=
. ………………6分

（1）因为
所以有
. ………………10分

（2）因为
，即
解得
. …………………………14分

16．（本题满分14分）

已知为复数，
为实数，且
为纯虚数，其中i是虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数满足
，求
的最小值．

16．【解答】：（1）
，

则
，因为
为实数，所以有
① ………………2分

，因为
为纯虚数，

所以
，② ……………………………………4分

由①②解得
. ………………………6分

故
. ………………………7分

（2）因为
，则
， ………………………8分

设
，因为
，即
………10分

又
=
，故
的最小值即为原点到圆
上的点距离的最小值，因为原点到点
的距离为
，又因为圆的半径r=1，原点在圆外，

所以
的最小值即为
. ……………………………………14分

17．（本题满分14分）

某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售、两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，品牌的销售利润
与投入资金成正比，其关系如图1所示，品牌的销售利润
与投入资金的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．

（1）分别将、两个品牌的销售利润
、
表示为投入资金的函数关系式；

（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入、两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

17．【解答】： (1) 因为品牌的销售利润
与投入资金成正比，设
，

又过点
，所以
，所以
………………3分

品牌的销售利润
与投入资金的算术平方根成正比，设
，又过点
，所以
，所以设
， ………………6分

（2）设总利润为,投入品牌为万元，则投入品牌为
万元，

则
………………8分

令
，则
………………10分

当
时，即
时，投入品牌为：
，
………………13分

答：投入品牌
万元、品牌
万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为
万元． ……………………14分

18．（本题满分16分）

（1）找出一个等比数列
，使得1，
，4为其中的三项，并指出分别是
的第几项；

（2）证明：
为无理数；

（3）证明：1，
，4不可能为同一等差数列中的三项．

18．【解答】：（1）取首项为1，公比为
，则
， ……………………2分

则
． ……………………4分

（2）证明：假设
是有理数，则存在互质整数
，使得
，………………5分

则
，所以
为偶数， ……………………7分

设
，
为整数，则
，所以
也为偶数，

则
有公约数2，这与
互质相矛盾， ……………………9分

所以假设不成立，所以
是有理数． ……………………10分

（3）证明：假设，
，4是同一等差数列中的三项，

且分别为第
项且
互不相等， ……………………11分

设公差为
，显然
，则
，
，

消去
得，
， ……………………13分

由，，都为整数，所以
为有理数，

由（2）得
是无理数，所以等式不可能成立， ……………………15分

所以假设不成立，即1，
，4不可能为同一等差数列中的三项． …………………16分

19．（本题满分16分）

已知定义在上的函数
是偶函数．

（1）求实数的值；

（2）判断
在
上的单调性，并用定义法证明；

（3）若
恒成立，求实数的取值范围．

19．【解答】：（1）因为
是定义在上的偶函数，所以
，

即
，即
，得
， ……………2分

当
时，
，

对于
，综上
………4分

（2）
在
上是单调增函数， …