津河中学2013级第二学期高二年级第三次段考数学试卷（理科）

命题人：罗晓燕 审题人：黄鸿飞

2015.4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.，满分
分，考试时间
分钟.

第Ⅰ卷（ 共75分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC．这个命题的大前提为(　　)

A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半

C．EF为中位线 D．EF∥CB

3.
(ex＋2x)dx＝(　　)

A．1 B．e－1 C．e D．e＋1

4．设xi，ai(i＝1,2,3)均为正实数，甲、乙两位同学由命题：“若x1＋x2＝1，则＋≤(＋)2”分别推理得出了新命题：

甲：“若x1＋x2＝1，则＋≤(a1＋a2)2”；

乙：“若x1＋x2＋x3＝1，则＋＋≤(＋＋)2”．

他们所用的推理方法是 (　　)

A．甲、乙都用演绎推理 B．甲、乙都用类比推理

C．甲用演绎推理，乙用类比推理 D．甲用归纳推理，乙用类比推理

5. 用反证法证明命题：“若(a－1)(b－1)(c－1)＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是 (　　)

A．假设a，b，c都大于1 B．假设a，b，c中至多有一个大于1

C．假设a，b，c都不大于1 D．假设a，b，c中至多有两个大于1

6．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为(　　)

A．－3 B．0 C．1 D．3

7．如图，阴影部分的面积为(　　)

A．
[f(x)－g(x)]dx B．
[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx

C．
[f(x)－g(x)]dx＋
[g(x)－f(x)]dx D．
[g(x)－f(x)]dx

8. 用数学归纳法证明＋＋…＋>1(n∈N＋)时，在验证n＝1时，左边的代数式为(　　)

A．＋＋ B．＋ C． D．1

9. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

10. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x＜0时，f′(x)g(x)－f(x) g′(x)＞0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将正确答案填在答卷的横线上）

11．函数
的单调增区间为 ．

12．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_________________________________________”．

13．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________．

14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．

15. 给出下列四个命题：

①若f′(x0)＝0，则x0是f(x)的极值点；

②“可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调”等价于“f(x)在区间(a，b)上有极值”；

③若f(x)＞g(x)，则f′(x)＞g′(x)；

④如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能取得最大值和最小值．

其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．

三．解答题（本大题共6小题，75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．(本小题满分12分)求由曲线
与
，
，
所围成的平面图形的面积。

17．(本小题满分12分) 已知0

18．(本小题满分12分)已知曲线y＝5，求：

(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；

(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．

19. (本小题满分13分) 已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．

(1)求实数a，b的值；

(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．

20．(本小题满分13分)用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

21. (本小题满分13分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.

(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论．

津河中学2013级第二学期高二年级

第三次段考数学试卷（理科）答案

选择题

AACBC ABADD

填空题

或

12.如果两个二面角的半平面分别对应垂直，那么这两个二面角角相等或互补

13.3X+y+6=0 14.-3 15.②④

解答题

16.

17.

.

18.（1） y＝2x+
;（2） y＝
x＋5

19.

20.解：设该容器底面矩形的短边长为cm，则另一边长为
m，此容器的高为
，

于是，此容器的容积为：
，其中
，

即
，得
，
（舍去），

因为，
在
内只有一个极值点，且
时，
，函数
递增；

时，
，函数
递减；

所以，当
时，函数
有最大值
，

即当高为1.2m时，长方体容器的空积最大，最大容积为
．

21.(1) a1＝
, a2＝
, a3＝
, an＝2－

(2) 假设n＝k时,命题成立，则ak＝2－
,

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2＋2－
, ak＋1＝2－
,

即当n＝k＋1时,命题成立.