北大附中河南分校焦作校区高二数学（文）下学期期中考试试卷

一、单项选择题：（本大题共11个小题，每小题5分，共55分.请把答案填写后面的选择题答题卡中,否则不评分）.

1、复数
的平方是一个实数的充要条件是 （ ）

（A） a=0且b≠0 （B） a≠0且b=0 （C） a=0且b=0 （D） a=0或b=0

2、△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为 （ ）

(A) 锐角 (B) 钝角 (C) 直角 (D) 不能确定

3．若
,则等于
( )

A． B．
C．
D．

4 ．函数
在一点的导数值为
是函数
在这点取极值的（ ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．必要非充分条件

5．若
则
是
的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、已知函数
有极大值和极小值，则实数a的取值范围是

　 （A）-1

（C）a<-3或a>6 (D) a<-1或a>2

7、已知f（x）是定义域R上的增函数，且f（x）<0,则函数g(x)=x2f(x)的单调情况一定是 ( )

(A) 在(-∞，0)上递增 （B）在(-∞，0)上递减

（C）在R上递增 （D）在R上递减

8、曲线
上的点到直线
的最短距离是 （ ）

0

9、设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

10、已知函数
的图象如右图所示(其中
是函数
的导函数)，下面四个图象中
的图象大致是 ( )

11．将函数
的图象和直线
围成一个封闭的平面图形，

则这个封闭的平面图形的面积是（ ）

A． B．

C．
D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.

12、一物体以v(t)=t2 -3t+8(m/s)的速度运动,则其在前30秒内的平均速度为______________(m/s).

13、设平面内有条直线
，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用
表示这条直线交点的个数，则
=____________；当
时，
__________________________．（用表示）

14．复数
的值是___________。

15．设
，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得

的值是________________。

三、解答题：（本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15、（本小题满分12分）

求抛物线
与直线
围成的平面图形的面积.

17、（本小题满分12分）

已知函数

（I）求函数
在
上的最大值和最小值.

（II）过点
作曲线
的切线，求此切线的方程.

18、（本小题满分13分）

19、（本小题满分14分）

已知
是函数
的一个极值点，其中
，

（I）求与的关系式；

（II）求
的单调区间；

（III）当
时，函数
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

20、（本小题满分14分）

如图，在直线
之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往. 家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d,0）（d>0）处的学校就读. 每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d, 0）处的学校. 已知船速为
，车速为
（水流速度忽略不计）.

（Ⅰ）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；

（Ⅱ）若
，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间.

21、（本小题满分14分）

已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x2上的点，直线
过点A，且与抛物线C 相切，直线
:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线
于点D.

（1）求直线
的方程.

（2）设
的面积为S1，求
及S1的值.

（3）设由抛物线C，直线
所围成的图形的面积为S2，求证S1:S2的值为与a无关的常数.

参考答案

一、选择题答题卡（共10个小题，每小题5分，共50分）。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



答案

D

A

B

D

B

C

A

A

B

C

D



二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.

12、263 13、5,
14、0 15、3

三、解答题：（.）

16、（本小题满分12分）

解: 由方程组
解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, －4）…2分

解法1:选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2

在A1部分：由于抛物线的上半支方程为
，下半支方程为
所以……3分

……………………………………5分

…………………………………………………………7分

…………………………………………………9分

……………………………………………11分

于是：
………………………………………………………………12分

解法二: 选y作积分变量，将曲线方程写为

及
………………………………………………………………2分

…………………………………………………………6分

……………………………………………………………10分

…………………………………………………………………………12分

17、（本小题满分12分）

解：（I）
， ……………………………………………2分

当
或
时，
，

为函数
的单调增区间

当
时，
，

为函数
的单调减区间

又因为
，………………………………5分

所以当
时，

当
时，
………………………………………………6分

（II）设切点为
，则所求切线方程为

………………………………………………8分

由于切线过点
，
，

解得
或
………………………………………………10分

所以切线方程为
即

或
………………………………………………12分

18、（本小题满分13分）

解：（1）
，

，
…………………………………3

（2）猜想：
即：

（n∈N*）……4分

下面用数学归纳法证明

n=1时，已证S1=T1 ………………………………………………………………5分

假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

………………7分

则

……………………………………………………9分

……………………10分

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………13分

19、（本小题满分14分）

解(I)
因为
是函数
的一个极值点,所以
,即
，所以
……………………………………3分

（II）由（I）知，
=
……4分

当
时，有
，当变化时，
与
的变化如下表：







1







-

0

+

0

-





单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减



………………………………………………………………………………………………8分

故有上表知，当
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减.………………………………………………………………………………9分

（III）由已知得
，即
…………………………10分

又
所以
即
①

设
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，……11分

所以
解之得
又
所以

即的取值范围为
…………………………………………………………14分

20、（本小题满分14分）

解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘公交车去学校，所用的时间为t，则
.……3分

令
……………………………………………………5分

且当
…………………………………………………6分

当
……………………………………………………7分

当
时，所用的时间最短，最短时间为：

.………………………………9分

答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
.

（II）由（I）的讨论可知，当d=
上的减函数，所以当
时，

即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短.……………………12分

最短的时间为
………………………………………………14分

答：当
时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
.

21、（本小题满分14分）

（1）由
当x=1时，y＇=-4 ………………2分

∴
的方程为y-2=-4(x+1)即y=-4x-2 ……………………3分

(2)
得B点坐标为（
） ……………………4分

由
得D点坐标（,-4-2） ……………………5分

点A 到直线BD的距离为
………………………………6分

= 22+4+2=2（+1）2

∴S1=
………………………………7分

(3)当>-1时，S1=（+1）3， ………………………………………8分

…………………………………………9分

…………………………………………10分

∴S1:S2=
………………………………………………………………………11分

当<-1时，S1= -（+1）3 ……………………………………………………12

……………………………………………13分

∴S1:S2=

综上可知S1:S2的值为与无关的常数，这常数是
…