江苏省启东中学2014～2015学年度第二学期第二次月考

高二（理科）数学试卷

命题：高二数学组

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．设集合
，
，则
．

2．某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是_____.

3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ．

4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 .

5．若在区间
内任取实数
，在区间
内任取实数
，则直

线
与圆
相交的概率为 ．

6．若
，则
最大值为__________．

7．已知数据x1，x2，······，xn的方差s2＝4，则数据－3x1＋5，

－3x2 ＋5，······，－3xn＋5的标准差为 ．

8．用数学归纳法证明“
＜

，
＞1
”时，由

＞1
不等式成立，推证
时，左边应增加的项数是 　　．

9．
展开式中
的一次项系数为 　　．

10．已知
，则
= .

11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 .

12．已知
的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 .

13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下

落。小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已

知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入

A袋中的概率为________．

14．已知等比数列
的首项为
，公比为
，其前
项和记为
，又设

，
的所有非空子集中的最小元素的和为
，则
的最小正整数
为 ．

二、计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15．(1)已知矩阵
，其中
均为实数，若点
在矩阵
的变换作用下得到点
，求矩阵
的特征值.

(2)在极坐标系中，设直线
与曲线
相交于
，
两点，求线段
中点的极坐标．

16．设z是虚数，
是实数，且
.

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设
，求证：
为纯虚数；

（3）求
的最小值。

17．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}．

（1）若A∩B＝
，求a的取值范围；

（2）当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(?RA)∩B.

18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为
．

（1）求
的概率；

（2）求
的分布列和数学期望．

19．已知数列
满足
，

.

（1）求
的值，猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明；

（2）设
，比较
与
的大小．

20．设函数
，

（1）①当
时，求
的展开式中二项式系数最大的项；

②若
，且
，求
；

（2）利用二项式定理求
的值
．

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